Question

已知定义在R上的函数f(x)满足:①对任意的实数x,y,有f(x+y+1)=f(x-y+1)-f(x)f(y)；②f(1)=2;

已知定义在R上的函数f(x)满足:①对任意的实数x,y,有f(x+y+1)=f(x-y+1)-f(x)f(y)；②f(1)=2;

（1）求f（0）及f（-1）的值
（2）判断函数f(x)的奇偶性，并证明

Answer 1

⑴令X=Y=0代入f(x+y+1)=f(x-y+1)-f(x)f(y)，
f(1)=f(1)-[f(0)]^2，得f(0)=0。
令x=Y=-1代入f(x+y+1)=f(x-y+1)-f(x)f(y)，
f(-1)=f(1)=2.
⑵f(-x)=f(1-x-1)=f(1+x-1)=f(x)
∴f(x)是偶函数。

Answer 2

(1).令X=1，Y=1，得f(3)=f(1)-f(1)*f(1)=-2
令X=1，Y=-1，得f(1)=f(3)-f(1)*f(-1)=2,推出f(1)*f(-1)=-4
令X=-1,Y=1,得f(1)=f(-1)-f(1)*f(-1)=2,推出f(-1)=-2,f(1)=2
令X=0，Y=0，得f(0)=0
(2)令Y=X,得f(2x+1)=f(1)-f(x)*f(x)
令Y=-X,得f(1)=f(2x+1)-f(x)*f(-x),联立，得f(x)=-f(-x),所以为奇函数