Question

定义在R上的函数f(x)对一切实数x,y满足:f(x)≠0,且f(x+y)=f(x)*f(y),

定义在R上的函数f(x)对一切实数x,y满足:f(x)≠0,且f(x+y)=f(x)*f(y),且当x<0时,f(x)>1
求证: f(x)在x∈R上是减函数

Answer 1

令x=y=0,f(0)=1,
令x>0,则-x<0,f(x)*f(-x)=f(0)=1,因为f(-x)>1>0,所以f（x)>0，
故R上f（x)>0。
令x1<x2,所以x1-x2<0,所以f(x1-x2)>1,f(x2)>0,
f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)*f(x2)>f(x2),得证

Answer 2

f(x+0)=f(x)=f(0)*f(x)
所以f(0)=1
f[x+(-x)]=f(0)=f(x)*f(-x)=1
当x<0时，f(x)>1.所以-x>0,f(-x)<1
假设x>0>y
f(x)<1,f(y)>1。所以f(x)-f(y)<0
所以f(x)随着x的递增而递减。所以f(x)为减函数

Answer 3

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