Question

高等数学二重积分.

高等数学二重积分.高等数学二重积分.如图

Answer 1

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Answer 2

I = ∫<-1, 1> [√(4-x^2) - √(x^2+2)] dx
= 2 [∫<0, 1> √(4-x^2) dx - ∫<0, 1> √(x^2+2)dx]
= 2(I1 - I2)
令 x = 2sinu， 则
I1 = ∫<0, π/6> 4(cosu)^2 du = 2 ∫<0, π/6> (1+cos2u)du
= [2u+sin2u]<0, π/6> = π/3 + √3/2
令 x = √2tanv， 则
I2 = 2 ∫<0, arctan(1/√2)> secvdtanv,
I3 = ∫<0, arctan(1/√2)> secvdtanv
= [secvtanv]<0, arctan(1/√2)> - ∫<0, arctan(1/√2)> secv(tanv)^2dv
= √3/2 - ∫<0, arctan(1/√2)> secv[(secv)^2-1]dv
= √3/2 - I3 + ∫<0, arctan(1/√2)> secvdv
2I3 = √3/2 + [ln(secv+tanv)]<0, arctan(1/√2)>
= √3/2 + ln[(1+√3)/√2]
I3 = √3/4 + (1/2)ln[(1+√3)/√2]
I2 = 2I3 = √3/2 + ln[(1+√3)/√2]
I = 2(I1 - I2) = 2π/3 - 2ln[(1+√3)/√2]

Answer 3

😊

追问

用分部积分，我算出来了

追答

对，就是分部积分法

才看到不好意思。。。