Question

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Answer 1

1、取AE中点F，连结CF、DF、CD，设BD=1单位，
则AB=BC=AC=CE=2，
根敬神据勾股定理，DE=AD=√5，△DAE和△CAE均是等腰亮竖亏△，
∴DF⊥AE，CF⊥AE，（等腰△三线合一）
∵△ACE是等腰RT△，
∴AE=√2AC=2√2，CF=EF=√2，DF=√3，
CD=√（BC^2+BD^2）=√5，
∴CF^2+DF^2=2+3=5=CD^2,
根据勾股逆定理，
△CFD是RT△，
∴<CFD=90°，即DF⊥CF，
又CF∩AE=F，CF和AE均在平面ACE上，
∴DF⊥平面ACE，
又∵DF∈平面ADE。
∴平面ADE⊥平面ACE，证明毕。
2、设平面ADE和平面ABC的夹纤察角是θ，
在平面CBB1C1上延长ED交CB的延长线于G，连结AG，作BH⊥AG，交AG于G，
∵BD∥CE，且BD=CE/2，
∴BD是△CEG的中位线，
∴BG=BC=2，
论著△ABC是正△，
∴<AGB=120°，
论著ABG是等腰△，
∴<BAH=30°,
BH=AB/2=1,
AH=√3BH=√3，
∴AG=2√3，
CG=2CB=4，
CA^2+AG^2=16=CG^2,
∴△CAG是RT△，
同理，AE=2√2，AG=2√3，EG=4√5，
△EAG是RT△，
S△EAG=EA*AG/2=2√6，
S△CAG=AC*AG/2=2√3，
∵EC⊥平面ACG，
∴△EAG在平面ABC上的投影就是△CAG，
∴S△ACG=S△EAG*cosθ，
cosθ= S△ACG/ S△AEG=2√3/（2√6）=√2/2，
∴θ=45°，
∴平面ADE和平面ABC的夹角是45度。

DENGCZ2009