Question

请解答：若三角形的三边长是a,b,c，且满足a的四次方=b的四次方+c的四次方-b的平方与c的平方的积。

请解答：若三角形的三边长是a,b,c，且满足a的四次方=b的四次方+c的四次方-b的平方与c的平方的积。b的四次方=c的四次方+a的4次方-a的平方与c的平方的积。c的四次方=a的四次方=b的四次方-a的平方与b的平方的积，请判断三角形abc的形状。请写出过程。谢谢！

Answer 1

答案：等边三角形
三个等式相加得到 a^4+b^4+c^4=2a^4+2b^4+2c^4-a^2c^2-b^2c^2-a^2b^2
等号两边消去一个a^4+b^4+c^4之后等式两边同乘2得到
2a^4+2b^4+2c^4-2a^2c^2-2a^2b^2-2b^2c^2=0
实际就是三个完全平方式相加得0的式子
即（a^2-b^2）^2+(b^2-c^2)^2+(a^2-c^2)^2=0
所以 a^2-b^2=0 b^2-c^2=0 a^2-c^2=0
所以a^2=b^2=c^2
即a=b=c，等边三角形

Answer 2

三角形abc为等边三角形
解：由a的四次方=b的四次方+c的四次方-b的平方与c的平方的积
b的四次方=c的四次方+a的4次方-a的平方与c的平方的积

c的四次方=a的四次方=b的四次方-a的平方与b的平方的积

互相带入化简 得到(a²+c²)=2b²
(a²+b²)=2c²
(b²+c²)=2a²
所以 a=b=c 为等边三角形

Answer 3

三个式子相加 得
a^4 + b^4 + c^4=2(a^4 + b^4 + c^4) - a²b² -b²c² - c²a²
即 a^4 + b^4 + c^4 - a²b² - b²c² - c²a²=0
都乘以2 得 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 - 2a²b² - 2b²c² - 2c²a²=0
即 (a^4-2a²b²+b^4)+(b^4- 2b²c² +c^4)+(c^4 - 2c²a² +a^4)=0
即 (a²-b²)²+(b²-c²)²+(c²-a²)²=0
所以 a²=b²=c²
即 a=b=c 为等边三角形