Question

利用绝对值的意义,求|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值

利用绝对值的意义,求|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值

Answer 1

令f（x）=|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|，
x≥4时，f（x）=x+x-1+x-2+x-3+x-4=5x-10≥10，
3≤x＜4时，f（x）=x+x-1+x-2+x-3+4-x=3x-2，所以7≤x＜10，
2≤x＜3时，f（x）=x+x-1+x-2+3-x+4-x=x+4，所以6≤x＜7，
1≤x＜2时，f（x）=x+x-1+2-x+3-x+4-x=8-x，所以6＜x≤7，
0≤x＜1时，f（x）=x+1-x+2-x+3-x+4-x=10-3x，所以7＜x≤10，
x＜0时，f（x）=-x+1-x+2-x+3-x+4-x=10-5x＞10，
综上，x=2时，f（x）有最小值f（2）=6

Answer 2

|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|
=(|x|+|x-4|)+(|x-1|+|x-3|)+|x-2|
≥|x-(x-4)|+(|x-1|+|x-3|)+|x-2| (0≤x≤4时取"=")
=(|x-1|+|x-3|)+|x-2|+4(0≤x≤4时取"=")
≥|(x-1)-(x-3)|+|x-2|+4 (0≤x≤4且1≤x≤3 即1≤x≤3时取"=")
=|x-2|+6 (1≤x≤3时取"=")
≥6 (x=2时取"=")
即 |x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|≥6 且x=2时取"="
所以 |x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值是6.

希望能帮到你！

Answer 3

当2＜x＜3时取得最小值，X-1+X-2+3-X+4-X=4

追问

为什么呢？