Question

如何理解极限思想？

我是一名高中生，正在学习导数。对于如何理解极限感到十分疑惑，主要是由导数计算过程中Δx这个量所引起的。下面是我现在的理解以及困惑的地方。
首先我觉得Δx并不是0，不然的话它就不能被放在分号下了。这样的话，假设化简原来的分式得到的导数是C+Δx，C是个常数。C+Δx随着Δx趋近于0的运动而逐渐趋向于C。但这样考虑的话C就成了一个虚幻的东西。因为Δx永远到不了0，C+Δx也就不能为C。可为什么确实存在这样一个值呢？切线这样一个实在的东西又该怎么解释呢？
我已经看过百度百科中的极限和极限思想条目，所以不必再复制粘贴。

Answer 1

你的问题跟导数其实没什么关系, 关键是对于极限本身不理解.

极限描述的是一个趋势, 这个趋势(比如说切线)是客观存在的, 所以就需要引进一个概念去刻划它, 于是就得把"无限接近但未必能达到"严格地讲清楚. 对一般极限定义的理解, 你可以先去看
http://zhidao.baidu.com/question/321126163.html
连续型极限的定义也可以类似地理解.
你有必要仔细体会极限的定义. 尽管极限来自于一个运动过程, 但严格的定义是把它静态化, 通过分析运动过程中的每个时刻来完成的. 把定义反复想几遍, 从已有的静态的定义出发用运动过程去理解定义, 而不要反过去想着自己根据运动过程去下定义(你目前还没有这个功力), 搞懂了就不会像你现在这样迷茫了, 别人给你的解释最多只有辅助作用, 最终还得靠你自己想通.

接下来看你提出的具体问题, 应该说这些解释也只是辅助, 远没有反复读定义重要.

"首先我觉得Δx并不是0"
这是对的.
在连续型极限的定义中要注意条件0<|x-x_0|<delta, 不能简单地写成|x-x_0|<delta.
x->x_0的极限中并不允许x=x_0, 同样地, Δx->0时也不允许Δx=0.
这样的定义更注重于运动的趋势, 而不会被一个特殊点所干扰.
比如说 f(2)=1, 但在其余点f(x)=0

lim_{x->2} f(x)=0, 不论x=2处是f(x)否有意义, 或者f(2)是多少, x->2这一趋势是由2周围的其他点而不是x=2本身来决定的, 这是一个"众望所归"的结果.

"C+Δx随着Δx趋近于0的运动而逐渐趋向于C, 这样考虑的话C就成了一个虚幻的东西"
C+Δx是在运动过程中的某一点, 而C是运动的最终趋势, 这个趋势固然是由运动的过程来决定的, 但这是一个表示运动结果的静态的量, 没有理由要求这个趋势一定要在运动的过程中就能达到. 如果给运动过程计一个时间的话, 过程当中的每一刻时间都是有限的, 而其极限对应于无穷远的时刻, 如果有限的过程中就总能达到又何必要用无限的时间去追求.
那么既然在有限时间内达不到C, 而C却是具有真实意义的东西, 那么给它下一个合理的定义那就可以变成有意义的结果了. 极限就是对整个运动过程所做的一个运算. 运动过程中的任何一个时刻都不能代表整个过程, 所以下定义的时候最好就要 "跳出这个过程!" (到大学以后你会学到Cauchy收敛原理, 这套方法可以不跳出运动过程而达到相同的效果. 但最终如果你学到更抽象的空间就会知道这还是会有细微的差异, 离开欧氏空间就完全不一样了), 而直接引进一个结果(即C), 然后反回去把结果和过程(即C+Δx, 并且Δx->0)做一个比较, 只要其差异是可以"要多小就有多小"就已经能反映出这个趋势了, 那么那个人为指定的结果就应该是合理的趋势. 如果把C换成其他的常数则不能由C+Δx来逼近, 所以刚才"人为"指定的结果有其必然性, 实质上并不是主观的.

这里的要点是不要始终把思维局限在运动的过程中, 过程到结果毕竟还需要一步额外的操作, 不跳出这个局限就不易理解. 另外, 再打一个比方, 要理解三维空间最好的方法是直接站在三维空间里去看二维空间, 而不是站在二维空间里去想象三维空间, 你现在的想法相当于始终停留在平面上.

追问

感谢您写下如此长篇的回答为我解惑。我感觉后半段对具体问题的解答对我比较有帮助，定义我也看了多次，但始终没有彻悟的感觉。另外请问我该怎么判断自己是否理解了极限思想？

追答

先去把数列极限的定义想明白，你说看过多次了，那么就再看更多次，一直到你觉得定义就应该这么下的时候才算理解

Answer 2

数学形式是思维的逻辑形式，而逻辑形式不能格式即束缚思维或实际的存在，什么事情都是相对的，不是绝对的，最小变化量的变化在一定范围内是可以趋向于0的，即到达要求或应该的位置，这就是变化的极限，此时它是一个真实的东西C，或者认定的东西C.。不能用无限截断的虚拟形式代替相对的驻点位置存在。因为当一条绳子拉动被缠绕的轮子时，轮子真实的转动了，并非切线绳子永远挨不住轮子。

Answer 3

你这样考虑，就像你切葱一样，把一根葱切成几段几段，而极限就是，在一根线上，你不断的去切切，切成无数段。Δx并不是0，只不过是接近于零，即使你葱切得再细，切了无数段，你拿起每一段都是葱，而不是切成没有葱了

Answer 4

C+Δx随着Δx趋近于0的运动而逐渐趋向于C.这极限的意思就是一种近似值的概念.Δx永远到不了0...但是Δx趋向于0..所以C+Δx趋向于C.你可以看看一些教学视频 给你推荐一个《柳重堪高等教学视频》 你可以再网上百度 优酷 搜一下 讲的很是不错。