Question

求这个函数的不定积分。求详细步骤。谢谢了。

Answer 1

我打不出积分符号, 用"积分[ ]"代替.

第一和第三项比较好做, 先处理它们:
因为 d(sinx) = cosx dx, 所以
积分[2sin(x)cos(x)dx] = [sin(x)]^2

因为 d[e^(3x+x^2)] = (2x+3)e^(3x+x^2)dx, 所以
积分[ (4x+6)e^(3x+x^2)dx] = 2*积分[ (2x+3)e^(3x+x^2)dx] = 2e^(3x+x^2)

积分[ln(x)/6x^2]dx] 比较麻烦, 需要用integration by parts 来做:
duv = udv + vdu, 所以 udv = duv - vdu
积分[udv] = uv - 积分[ vdu ]
Let u = ln(x), du = (1/x)dx
dv =dx/(x^2), v = -1/x
积分 [ [ln(x)/6x^2]dx ] = {-(lnx)/x - 积分[ (-1/x)(1/x)dx ]}/6
= {-(lnx)/x + 积分[ (1/x^2)dx ]}/6
= {-(lnx)/x -1/x}/6
= - (1 + lnx)/6x
所以, 题目的答案是 [sin(x)]^2 - (1 + lnx)/6x + 2e^(3x+x^2) + C

Answer 2

f(x)=sin(2x)+(1/6)x^(-2)lnx+2(2x+3)e^(x^2+3x)
三个分开积
第一个=(1/2)∫sin(2x)d(2x)=-(1/2)cos2x+C
第二个分部=(-1/6)∫lnxd(x^(-1))
=(-1/6)[x^(-1)lnx-∫x^(-1)*(1/x)dx]
=(-1/6)(lnx/x+x^(-1))+C
=(-1/6)(lnx+1)/x+C
第三个换元，t=x^2+3x,dt=(2x+3)dx
积分=2∫e^tdt
=2e^t
=2exp(x^2+3x)+C
加一起就得
-(1/2)cos2x-(lnx+1)/(6x)+2exp(x^2+3x)+C