Question

已知函数f(x)=log3(9^x+1)+kx是偶函数 求实数K的值 若函数g(x)=f(x)-log3m存在零点求m的取值范围

Answer 1

把问题当作高一的了
1.已知函数f(x)=log3(9^x+1)+kx是偶函数 求实数K的值，两种做法。

（1）利用f(-x)=f(x)
f(-x)=log3[9^(-x)+1]-kx=log3[(9^x+1)/9^x]-kx=log3(9^x+1)-log3(9^x)-kx=log3(9^x+1)-2x-kx
=f(x)=log3(9^x+1)+kx
得k=-1
(2)由函数是偶函数，则f(1)=(-1)，求出k

2.由1问得，f(x)=log3(9^x+1)-x，g(x)=f(x)-log3m=log3[(9^x+1)/m]-x.
函数g(x)=f(x)-log3m存在零点，即方程log3[(9^x+1)/m]-x=0有实根

等价于(9^x+1)/m=3^x，即(3^x)^2-m*3^x+1=0.有实根。
令3^x=t，则t^2-m*+1=0，且t>0.
由韦达定理可知：t1*t2=1>0，所以两根同号。由t>0可知，两根都大于0
所以可得不等式组：(-m)^2-4≥0
m>0
解得：m≥2

追问

log3(9^x+1)-2x-kx
=f(x)=log3(9^x+1)+kx
这样的话k应该是-3吧

追答

-2x-kx=kx

-2x=kx+kx=2kx

k=-1

Answer 2

log3(9^x+1)=log3(9^-x+1) 所以 f(x)=log3(9^x+1) 为偶函数
f(x)=kx 当k=0时为偶函数 k≠0时为奇函数
奇函数相加得奇函数 偶函数相加得偶函数 所以k=0 f(x)=log3(9^x+1)

函数g(x)=f(x)-log3m存在零点 即f(x)-log3m=0有解 即 log3(9^x+1)=log3m 有解
即(9^x+1)=m 有正数解 当X是正数时 (9^x+1) 大于2 所以 m大于2

追问

不好意思，k等于0时应该是不成立的吧，我算出来k应该是-1/4

追答

不好意思 看错题了 既然你算出来K是-1/4 那应该是
第二问 log3(9^x+1)+kx = log3m
kx = log3m - log3(9^x+1) = log3 (m/（9^x+1))
3∧kx = (m/（9^x+1))
3∧kx *（9^x+1)=m
3∧kx *（(3^x）∧2+1) = m
令3^x = t t>0 t ∧kx *（ (t)）∧2+1）=m
求出左式的范围就是m的范围