Question

如图所示,△ABC中,AB=AC,过点B作△ABC的外接圆的切线交AC的延长线于D,过点D作DE⊥AB交AB的延长线于E，

求证：CD=2BE

Answer 1

做DF∥BC交AE的延长线于F
∵AB=AC，BC∥DF
∴∠ABC=∠ACB
∠ABC=∠F，∠ACB=∠CDF
∴∠F=∠CDF
∴BFDC是等腰梯形
∴BF=CD
∵BD是圆的切线
∴∠DBC=∠A
∴∠FBD+∠DBC+∠ABC=∠ABC+∠ACB+∠A
∴∠FBD=∠ABC=∠F
∴△DBF是等腰三角形
∵DE⊥AB(BF)
∴DE是△DBE的中线（等腰三角形三线合一）
∴BE=1/2BF=1/2CD
即CD=2BE

Answer 2

过A作AF垂直BC于F，因为BD切线，所以角DBC=角BAC，而角ABC+角BAC+角ACB=180度，角ABC+角DBC+角DBE=180度，所以角DBE=角ACB=角ABC，所以三角形DBE相似于三角形ABF，所以BE/BD=BF/AB，因为AB=AC，所以BF=CF，所以2BE/BD=BC/AB，由角DBC=角BAC，角BDC为公共角，所以三角形DBC相似三角形DAB， 所以CD/BD=BC/AB，所以 2BE/BD=CD/BD，所以CD=2BE