Question

高中数学竞赛题 高分 速度！！求详细解

设a,b,c为方程x^3-px-qx=0的根（p+q≠1），则 （1+a)/(1-a)+（1+b)/(1-b)+1+c)/(1-c)=?
设正实数a,b,c及非负实数x,y满足条件：a^6+b^6+c^6=3 (x+1)^2+y^2≤2
求I=1/(2a^3x+b^3y^2)+1/(2b^3x+c^3y^2)+1/(2c^3x+a^3y^2)的最小值，并论证之。

Answer 1

第一题借用wxwxsx的解答：

第二题：

设A=2a^3*x+b^3*y^2,B=...,C=...(B和C也就是第二项和第三项的分母)所以由均值不等式I>=9/A+B+C现在求A+B+C的最大值,也就是求2(a^3+b^3+c^3)x+(b^3+a^3+c^3)y^2的最大值,由均值不等式,a^3+b^3+c^3<=3(因为利用不等式(h+k+l)^2<=3(h^2+k^2+l^2)可以把h,k,l看作a^3,b^3,c^3)以及x和y^2均非负,所以A+B+C<=6x+3y^2然后利用条件x^2+2x+2y^2<=2,所以y^2<=1-x-x^2/2从而6x+3y^2<=6x+3-3x-3x^2/2=-3x^2/2-3x+3，然后考虑这个函数在[0,根号2]的最大值（根据条件y=0时，不等式变为x^2<=2，所以x不超过根号2），当x=0时，该函数取最大值为3从而I的最小值为3，此时a=b=c=1,x=0,y=1。

Answer 2

x^3-px-qx=x[x^2-(p+q)]=x[x+√(p+q)][x-√(p+q)]=0
x1=0=a
x2=-√(p+q)=b
x3=√(p+q)=c
得
（1+a)/(1-a)+(1+b)/(1-b)+(1+c)/(1-c)
=1+[1-√(p+q)]/[1+√(p+q)]+[1+√(p+q)]/[1-√(p+q)]
=1+{[1-√(p+q)]^2+[1+√(p+q)]^2}/[1-(p+q)]
=1+[1+(p+q)]/[1-(p+q)]
=2/(1-p-q)

Answer 3

第一道：
由韦达定理知：Σa=0，Σab=-p，abc=q
原式=Σ(1+a)(1-b)(1-c)/[(1-a)(1-b)(1-c)]=Σ(1-b-c+bc+a-ab-ac+abc)/(1-Σa+Σab-abc)=(3-Σa-Σab+3abc)/(1-Σa+Σab-abc)=(3+p+3q)/(1-p-q)

第二道：
3(x+1)^2+y^2在x,y>=0的情况下怎么会不大于2？

Answer 4

1 根与系数的关系可得 a+b+c=0, ab+bc+ca=-p;abc=q
然后将表达式表为上述对称关系的函数。
原式=3+2(1/(1-a)+1/(1-b)+1/(1-c))=3+2[(3+(bc+ca+ab)-2(a+b+c))/ (1-abc+2(ab+bc+ca)-(a+b+c))]
带入即可。

Answer 5

先解一题，等我再想另一题！希望有帮助！呵呵！

追问

x^3-px-q输错。。 不好意思

追答

 

差不多，类似！

第二题害死我了！不能做？题目有错！

作了两个小时？不行？

Answer 6

x^3-px-qx ?

追问

x^3-px-q输错。。