Question

定义在R上的函数f(x)满足①f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy②f(0)=0,f(π/2)=1.求f(x)

我已经证得f(x)为奇函数 不知道怎么赋值求f(x) 求高手解答 详细点啊~P.S.请勿复制 Thx.

Answer 1

令y=π/2,得f(x+π/2)+f(x-π/2)=2f(x)cosπ/2=0，
所以f(x+π/2)=-f(x-π/2)=f(π/2-x)
令x=π/2,得f(π/2+y)+f(π/2-y)=2f(π/2)cosy=2cosy，
f(π/2+y)+f(y+π/2)=2cosy
所以f(y+π/2）=cosy,
再令y+π/2=x,
得f(x)=sinx

Answer 2

∵f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy
令x=y=0
f(0+0)+f(0-0)=2f(0)cos0==>f(0)=0
f(0+π/2)+f(0-π/2)=2f(0)cos(π/2)==>f(π/2)+f(-π/2)=0
f(π/2+0)+f(π/2-0)=2f(π/2)cos(0)==>f(π/2)=1
∴f(-π/2)=-1
∴f(x)=sinx

显然sin(x+y)+sin(x-y)=2sinxcosy成立

追问

- - 这个方法我是想到过啦...但是真的可以么.. 不能根据几个点满足某一函数模型就说f(x)=sinx啊

追答

这是猜想，然后加证明，因为很显然，过程就略了