Question

高中数学：已知正实数m,n,p,q满足pq/mn=(p+q)/(m+n)=k,求k的取值范围

求详细解答过程，谢谢！
好的话还可以加分！
原来的题目错了，这个才是对的。

Answer 1

k>=1

下面是解答过程：

pq=kmn
p+q=k(m+n)，

存在正实数pq，等价于判别式(p-q)²=k²(m+n)²-4kmn>=0。

k明显大于0，所以上式相当于k>=4mn/(m+n)²=4/(m/n+n/m+2)

这个式子对所有mn都需成立，因此只要看4/(m/n+n/m+2)的最大值即可。

m/n+n/m>=2√(m/n*n/m)=2，所以4/(m/n+n/m+2)<=4/(2+2)=1，

因此k>=1即可。

追问

存在正实数pq，等价于判别式(p-q)²=k²(m+n)²-4kmn>=0。

这一步我看不明白，为什么 存在正实数pq，就等价于 判别式≥0 呢？
还有，为什么判别式等于(p-q)² ？

请您讲详细一点，谢谢！

追答

相当于韦达定理，pq=kmn，p+q=k(m+n)，因此p和q是一元二次方程
x*x-k(m+n)*x+kmn=0的两个根，所以看下判别式就行了。

追问

谢谢！你太厉害了！
再帮我看看这题：http://zhidao.baidu.com/question/523468469.html?oldq=1

追答

你的另一题，我已经回答。

Answer 2

原来如此
由题目易得k>0
令a=m+n,b=mn
则p+q=ka,pq=kb
题目可以转化成
对任意一个以m,n为两根的一元二次方程
X^2-aX+b=0 ① △=a^2-4b>=0
都存在以p,q为两根的一元二次方程
X^2-kaX+kb=0 ②
显然k=1时成立
当k≠1时，△=(ka)^2-4kb>=0对任意a,b恒成立
k(ka^2-4b)>=0
即k>=4b/(a^2)>0 (这一步我也不确定，我代过数进去算，发现可以大于1也可以小于1)
所以最后k>0 (实在是虎头蛇尾，我能力尚浅，sorry)

Answer 3

我很想念你。你怎么样？
2。未来的父亲节。我要回家看我的父亲。

3。对不起，你不介意我坐在这里吗？

4。会带你到学校是长期的吗？
5。对不起，我迟到了。交通太糟糕了。

Answer 4

pq/mn=(p+q)/(m+n)推出1/p+1/q=1/m+1/n，理所当然想到换元，即：a+b=c+d，求ab/cd范围

Answer 5

m=n+8n(n+8)+k^2=-16n^2+8n+16+k^2=0(n+4)^2+k^2=0平方大于等于0，相加等于0，若有一个大于0，则另一个小于0，不成立 所以两个都等于0 所以n+4=0,k=0n=-4,k=0,m=n+8=4m+n+k=0