Question

微分方程，f'(x)+f(x)=e^x，求f(x)

答案说f(x)=[e^(-x)][(1/2)e^(2x)+C]，请问是怎么算出来的？

Answer 1

即是解：y'+y=e^x
特征方程为：λ+1=0，得;λ=-1
所以齐次方程的通解为y1=ce^(-x)
由非齐次项e^x,设特解为y*=ae^x
则代入方程得：ae^x+ae^x=e^x,得：a=1/2
所以原方程的通解为y=y1+y*=ce^(-x)+1/2*e^x
与答案是等价的。

追问

所以齐次方程的通解为y1=ce^(-x)

请问这是什么公式？
我只知道：c1e^(r1x)+c2e^(r2x)
有什么区别么？

追答

这就是特征根的方法。你知道的那是二阶方程的，这里是一阶的。

Answer 2

e^x(f'(x)+f(x))=e^(2x)
(e^xf(x))'=e^(2x)
两边积分得：e^xf(x)=1/2e^(2x)+C
f(x)=e^(-x)(1/2e^(2x)+C)