Question

已知数列an满足a1=1/2，an+1-an=an/（n+1）（n∈N*）bn=1/(4an-1) 求an的通项公式

Tn=b1²+b2²+。。。+bn²，求证Tn＜2

Answer 1

解：由a(n+1)-an=an/（n+1）两边同除以 an得
a(n+1)/an=(n+2)/(n+1)
于是a2/a1=3/2
a3/a2=4/3
a4/a3=5/4
..............
an/a(n-1)=(n+1)/n
上式相乘得：an/a1=(n+1)/2
an=(n+1)/4
bn=1/(4an-1)=1/n
Tn=b1²+b2²+.......+bn²=1+(1/2)^2+(1/3)^2+.....(1/n)^2
因为当n>2时有(1/n)^2<1/(n-1)n=1/(n-1)-1/n
所以Tn=1+(1/2)^2+(1/3)^2+.....(1/n)^2<1+(1-1/2）+（1/2-1/3）+......(1/(n-1)-1/n)=2-1/n<2

Answer 2

解：an+1-an=an/(n+1)通过移向合并得
an+1/an=n+2/n+1（n>=1)
所以有a2/a1*a3/a2*a4/a3*....*an+1/an=an+1/a1=n+2/2（3/2*4/3*5/4*6/5....*n+2/n+1)
又已知a1=1/2所以
an+1=n+2/4 令n+1=n 得an=n+1/4
对于第二问，即求(1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+....+(1/n)^2<2
简化一点，也就是求(1/2)^2+(1/3)^2+....+(1/n)^2<1
用放缩法，（1/2)^2<1*1/2=1-1/2,
(1/3)^2<(1/2)*（1/3)=1/2-1/3
(1/4)^2<(1/3)*(1/4)=1/3-1/4
......
(1/n)^2<(1/n)*(1/n-1)=1/n-1-1/n
累加得(1/2)^2+(1/3)^2+....+(1/n)^2<1-1/n<1
所以原命题得证 *为乘
希望对你有帮助。

Answer 3

an=1/2＋1/4d (d∈0、1、2、3……)