Question

在矩形ABCD中，AB=根号2，ianF是CD的中点，点P在AD上，则|向量PB+3向量PF|的最小值是？

点F是CD的中点

Answer 1

如下是我的一些见解，这题网上没有，希望能给你一点思路：

解：∵任意矩形，可以取一个∠BPF=90°的矩形
∴图我就不传了，自己画吧
由题意可知，设AP=X,
∵△PAB∽△FDP，AB=√2，F是CD中点
∴AP/DF=AB/DP
∴DP=1/X
∴BP²=x²+√2 ²，PF²=1/x²+（√2/2）²
∴|PB+3PF|²= BP²+（3PF）²
|PB+3PF|=√﹙BP²+9PF²）
=√﹙x²+2+9/x²+9/2﹚
=√[x²+6+（3/x）²+1/2 ]
=√[（x+3/x）²+1/2 ]
∵当x=√3时，x+3/x最小，此时x+3/x=2√3
∴|PB+3PF|的最小值为=√[（2√3）²+1/2 ]=5√2/2
故答案为5√2/2

这是我的看法，或许有些不对，如果有帮助，请采纳，我的步骤哪里不懂，可追问。

追问

△PAB∽△FDP？？ 就算角BPF=90°也不可能。。。况且为什么这个叫是90°呢。。。

追答

可以的，你画一个矩形特殊一点的，能画出90°，我就画出来了。。我觉得夹角为钝角算的和小，可是又不知道钝角咋算，就觉得是直角。

追问

这。。。原来是猜的啊。。

追答

猜测往往也是一种技巧，。。总比不写强。。至少动脑了。

追问

是啊，可现在是在做题，可不是在研究什么高深的数学难题。。

追答

嗯。

Answer 2

解：以B为坐标原点，BC为x轴正方向，BA为y轴正方向。
则A（0，根号2）B（0,0）C（根号2,0）D（根号2，根号2,）F（根号2,1/2*根号2）设P（x,根号2）（0<=x<=根号2)
∴向量PB=（-x，-根号2），PF=（根号2-x,-1/2*根号2）
∴向量PB+3PF=(3根号2-4x，-5/2*根号2）
∴|PB+PF|<=5/2*根号2（当3根号2-4x=0时，即x=3/4*根号2时）
最小值5/2*根号2