Question

函数题目

设t＞0，已知函数f （x）=x2（x-t）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求函数f （x）的单调区间；
（2）设函数y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率为k，当x0∈（0，1]时，k≥-
12恒成立，求t的最大值；
（3）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y=f（x）的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值．

Answer 1

分析：（1）由导数大于0可求单调递增区间，导数小于0可求单调递减区间；

（2）当x0∈（0，1]时，k≥-1/2 恒成立，转化为即t≤(3x0^2+1/2) / 2x0 ，x0∈（0，1]只需求其最小值；（3）由题意画出图象，用距离相等可求t的值．

解：（1）∵函数f （x）=x^2（x-t）=x^3-tx^2，∴f′（x）=3x^2-2tx=x（3x-2t）

令x（3x-2t）＜0，解得0＜x＜2t，（t＞0）；令x（3x-2t）＞0，解得x＜0，或x＞ 2t / 3，

故函数f （x）的单调递减区间为（0，2t / 3   ）；单调递增区间为（-∞，0）和（2t / 3，+∞）．

（注意：二，三问是以图片形式解答的，可能有点小，你可以把它下载下来再看，绝对清楚）

【数不胜数】团队为您解答，望采纳O(∩_∩)O~

Answer 2

(1) f'(x) = 2x(x - t) + x² = x(3x - 2t) = 0
x = 0, x = t
此为开口向上且与x轴交于(0, 0), (t, 0)的抛物线
增区间: x < 0或 x > 2t/3

减区间: 0 < x < 2t/3

(2)
f'(x) = 3x² - 2tx对称轴为x = (0 + 2t/3)/2 = t/3
(i) 对称轴x = t/3∈ (0, 1]时 (0 < t ≤ 3)

f'(t/3)取最小值 3(t/3)² - 2t*t/3 = -t²/3 ≥ -12
-6 ≤ t ≤ 6
结合前提，0 < t ≤ 3

(ii) 对称轴x = t/3 > 1, t > 3
x = 1时, f'(x)取最小值f'(1) = 3 - 2t ≥ -12
t ≤ 15/2
结合前提, 3 < t ≤ 15/2
结合(i)(ii): 0 < t ≤ 15/2

(3)
A(0, 0), B(t, 0)
有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点, 说明该直线过f(x)过的一个极值点(0, 0), (2t/3, -4t³/27)
如过(0, 0), 则直线与x轴重合, 故直线: y = -4t³/27
D(2t/3, -4t³/27)
C的横坐标为2t/3 - t = -t/3, 纵坐标为-4t³/27
AB² = t²
AC² = t² = (-t/3 - 0)² + (-4t³/27 - 0)²
t = 3/⁴√2 (分母是2的4次方根)