大佬求解,高数题,在线等,急!(第4,5两道题)
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解:分享一种解法,利用二重积分的对称性性质求解。
∵积分区域D关于y=x对称,∴∫∫D[f(x)/f(y)]dxdy=∫∫D[f(y)/f(x)]dxdy。
∴2∫∫D[f(x)/f(y)]dxdy=∫∫D[f(x)/f(y)]dxdy+∫∫D[f(y)/f(x)]dxdy=∫(a,b)∫(a,b)[f(x)/f(y)+f(y)/f(x)]dxdy。
而,f(x)、f(y)均为正值函数,∴f(x)/f(y)+f(y)/f(x)≥2,∴2∫∫D[f(x)/f(y)]dxdy≥2∫(a,b)∫(a,b)dxdy=2(b-a)^2。
∴∫∫D[f(x)/f(y)]dxdy≥(b-a)^2。
供参考。
∵积分区域D关于y=x对称,∴∫∫D[f(x)/f(y)]dxdy=∫∫D[f(y)/f(x)]dxdy。
∴2∫∫D[f(x)/f(y)]dxdy=∫∫D[f(x)/f(y)]dxdy+∫∫D[f(y)/f(x)]dxdy=∫(a,b)∫(a,b)[f(x)/f(y)+f(y)/f(x)]dxdy。
而,f(x)、f(y)均为正值函数,∴f(x)/f(y)+f(y)/f(x)≥2,∴2∫∫D[f(x)/f(y)]dxdy≥2∫(a,b)∫(a,b)dxdy=2(b-a)^2。
∴∫∫D[f(x)/f(y)]dxdy≥(b-a)^2。
供参考。
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