Question

【中值定理证明题】设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)f(b)>0,f(a)f((a+b)/2)<0

试证明：对于任意实数k，在(a,b)中至少存在一点ξ，使f'(ξ)=kf(ξ)成立。

Answer 1

由f(a)f((a+b)/2)<0，可知（a，(a+b)/2)上存在x1，使得f（x1）=0，由f(a)f(b)>0，同理可知（(a+b)/2，b）上存在x2，使得f（x2）=0，构造函数G（x)=f(x)/e^kx,G(x1)=G(x2)=0,G(x)在[x1，x2]可导且连续，在(x1,x2)中至少存在一点ξ，使G‘（ξ）=0，即f'(ξ)=kf(ξ)，综上，对于任意实数k，在(a,b)中至少存在一点ξ，使f'(ξ)=kf(ξ)成立