Question

一道奥数题，求解，必须是过程。答案已给出，是51.为什么？

在1~20这20个自然数中，任取十个数的和，与其余十个数的和相乘，能得多少不同的乘积？为什么？

Answer 1

10个数相加最小是1加到10，是55，
最大是11加到20是155

共101个数

55×155=155×55

56×154=154×56

……

105×105=105×105

所以共51个积

Answer 2

同学，首先你想明白题目的意思，题目基本的大意就是有20个数，1,2, .....20，取其中的十个数相加，再乘以另外十个数相加；就是将1,2，....20，分成两部分，但是1+2+3+.....+20是确定的，等于210，问题就转化为将310分成两部分，看看有种分法就可以了。再想想还有没有要求？是有的，1到20其中十个数，最少的1+2+....+10=55,最大的11+12+....20=155,所以问题又转化为，将210分成两个数的和，其中最少55，最大155，所以
210=155+55
210=154+56
210=153+57.......
那究竟到什么情况就完呢？刚好对半就完了，再继续就循环了，乘积都是一样的。
210=155+55
210=154+56
3210=153+57
........
210=106+104
210=105+105
210=106+104(这里往后就重复了）
201=107+103
.............
所以一个有155到105种分法，一共51种咯。（155-105+1=51）

Answer 3

20个自然数的和为210，最小的十个数之和为55，那么不同的乘积情况有如下55乘155,56乘154，……直到210的中间数即105乘105，乘积都是不同的，那么55到105一共有51对组合，所以答案为51