Question

如图1P是线段AB上的一点,在AB的同侧作△APC和三角形BPD,使PC=PA，PD=PB

如图1P是线段AB上的一点,在AB的同侧作△APC和三角形BPD,使PC=PA，PD=PB,∠AP=∠BPD,连接CD，点E,F,G,H分别是AC,AB,BD,CD的中点，顺次连接E,F,G,H
（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由
（2）当点P在线段AB上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由
(3)如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，判断四边形EFGH的形状，说明理由

Answer 1

(1)四边形EFGH是菱形
（2）四边形EFGH是菱形
证明;连接AD,BC
因为角APC+角CPD=角APD
角BPC=角BPD+角CPD
角APC=角BPD
所以角APD=角BPC
因为PA=PC
PD=PB
所以三角形APD和三角形CPD全等（SAS)
所以AD=BC
因为点E,F,G,H分别是AC,AB,BD,CD的中点
所以EF,,GH.FG分别是三角形ABC,三角形BDC，三角形ABD的中位线
所以EF=1/2BC
GH=1/2BC
EF=1/2AD
EF平行BC
GH平行BC
所以EF平行GH
EF=GH=FG
所以四边形EFGH是平行四边形
又因为EF=FG
所以四边形EFGH是菱形
（3）四边形EFGH是菱形
证明同上

Answer 2

(1)四边形EFGH是菱形
（2）四边形EFGH是菱形
证明;连接AD,BC
因为∠APC+∠CPD=∠APD
∠BPC=∠BPD+∠CPD
∠APC=∠BPD
所以∠APD=∠BPC
因为PA=PC
PD=PB
所以△APD和△CPD全等（SAS)
所以AD=BC
因为点E,F,G,H分别是AC,AB,BD,CD的中点
所以EF,,GH.FG分别是△ABC,△BDC，△ABD的中位线
所以EF=1/2BC
GH=1/2BC
EF=1/2AD
EF平行BC
GH平行BC
所以EF平行GH
EF=GH=FG
所以四边形EFGH是平行四边形
又因为EF=FG
所以四边形EFGH是菱形
（3）四边形EFGH是菱形
证明同上

Answer 3

连接AD、BC,利用SAS可判定△APD≌△CPB,从而得到AD=BC,因为EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线,则可以得到EF=FG=GH=EH,根据四边都相等的四边形是菱形,可推出四边形EFGH是菱形；