Question

一道关于圆的题目，求解

如图，在Rt三角形ABC中，角ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s 的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆，设点Q运动的时间为t s.
（1）当t=1.2时，判断直线AB与圆P的位置关系，并说明理由。
（2）已知圆O为三角形ABC的外接圆，若圆P与圆O相切，求t的值
求详解，要过程

Answer 1

解：(1)作PD⊥AB于D,

RT△ABC∼RT△PBD

(AB^2)=(6^2)+(8^2)⇒AB=10

∴PD/AC=PB/AB⇒PD/6=4/10⇒PD=2.4

当t=2时，PQ=1.2•2=2.4=PD

∴圆P与直线AB相切。(直线到圆心的距离等于半径)

(2)（2）∵∠ACB=90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，
∴BO=AB=5cm，
连接OP，
∵AO=BO，CP=PB，∴PO=1/2AC=3cm，
∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O无法外切，只能内切，
∴5﹣2t=3，或2t﹣5=3，
∴t=1或4，
则：⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4

追问

为什么在（2）中OA=OB=PC=PB

追答

解：（1）直线AB与⊙P相切，
如图，过P作PD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
∵P为BC中点，
∴PB=4cm，
∵∠PDB=∠ACB=90°，
∠PBD=∠ABC，
∴△PBD∽△ABC，
∴ PDAC=PBAB，
即 PD6=410，
∴PD=2.4（cm），
当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm），
∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，
∴直线AB与⊙P相切；
（2）∵∠ACB=90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，
∴BO= 12AB=5cm，
连接OP，
∵P为BC中点，
∴PO= 12AC=3cm，
∵点P在⊙O内部，
∴⊙P与⊙O只能内切，
∴5-2t=3，或2t-5=3，
∴t=1或4，
∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4

Answer 2

1）、t=1.2， PQ=2*1.2=2.4cm。
过p做AB的垂线交AB于点M，，可以算出PM=（4/10）*6=12/5（用相似三角形做）
比较PM于半径的长度，PM=PQ。
故相切。
2）、相切只有两种情况：内切与外切
连接OP做直线交园O于E、F点，分别为内外切点。可知外切时不行的，Q不可能运动到F点。所以只考虑内切，有：
园P的半径为PE，PE=OE-OP=5-3=2cm=PQ。
由题1中得p到AB的距离最短是12/5>2，所以AB边上没有存在。
剩下两种情况都在BC边上，出发时和结束时：t1=2/2=1s；t2=（（10+6+8）-2)/2=11s

如果点Q只运动一回合的话就上面两种情况，若一直运动的话，时间就要加上周期了

追问

第二问，可以发个图上来吗~~，我自己填有点糊里糊涂的

追答

讲究着看吧，就这两种情况

追问

实话说，我真的看不懂~~为什么又有一个t 1 又有一个t 2

追答

题目看错了，想的太复杂，我以为Q点是在三角形上运动，原来只是在射线上运动。。
1s和4s是对的

Answer 3

(1)作PR⊥AB，交AB于点R。AC²＋BC²＝AB²，AB＝10cm；⊿ABC∽⊿PRB，AB/AC＝PB/PR。PR＝2.4cm。当t=1.2时，PQ长度为：2×1.2＝2.4，等于半径PR。相切。
（2）

Answer 4

1.2x2=2.4 点p到AB的距离刚好是2.4 位置是相切 t=ls

追问

可以详细点吗，要过程~~~