Question

求估读定积分值，∫√3上限1/√3下限xarctanxdx

答案是π/9<....<2π/3
不知道怎么来的

Answer 1

∫√3上限1/√3下限xarctanxdx的积分值介于（√3 - 1/√3） π / （6√3）= π / 9和（√3 - 1/√3） √3π / 3 = 2π/3之间。

被积函数xarctanx在给定范围是单调升函数。

最小值是：1/√3 *arctan（1/√3）= π / （6√3）

最大值是：√3 *arctan（√3）= √3π / 3

所以，积分值介于（√3 - 1/√3） π / （6√3）= π / 9和（√3 - 1/√3） √3π / 3 = 2π/3之间。

扩展资料：

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2

被积函数xarctanx在给定范围是单调升函数，
最小值是 1/√3 *arctan（1/√3）= π / （6√3）
最大值是 √3 *arctan（√3）= √3π / 3
所以，积分值介于
（√3 - 1/√3） π / （6√3）= π / 9
和
（√3 - 1/√3） √3π / 3 = 2π/3
之间。

追问

多谢，真的有用

Answer 3

原式=1/2∫(1/√3→√3)arctanxd(x^2)=1/2x^2arctanx|(1/√3→√3)-1/2∫(1/√3→√3)x^2/(x^2+1)dx=1/2x^2arctanx|(1/√3→√3)-1/2∫(1/√3→√3)dx+1/2∫(1/√3→√3)dx/(x^2+1)=1/2x^2arctanx|(1/√3→√3)-1/2x|(1/√3→√3)+1/2arctanx|(1/√3→√3)=17π/36-√3/3+π/12=5π/9-√3/3

拿着计算器什么的算一下就得到那个范围了。