Question

一道高二几何数学题

已知直线a‖平面α，直线α‖平面β，平面α∩平面β＝b

求证a‖b

Answer 1

平面α∩平面β＝b
b在平面α又在平面β中
因为 直线a‖平面α，直线α‖平面β
所以 a‖b

Answer 2

证明：
因为直线a‖平面α
所以在平面α内有直线m,m‖a
同理，在平面β内有直线n,n‖a
所以m‖n
所以m‖β
直线m与平面β没有交点
因为直线b属于平面β
所以直线m与直线b也没有交点
因为，直线m与直线b都在平面a内
所以只能是m‖b
因为前面有a‖m
所以a‖b

Answer 3

作一个平面γ
使直线a⊥平面γ
因为直线a‖平面α，直线a‖平面β
所以平面γ⊥平面α，平面γ⊥平面β
平面γ∩平面α=c，平面γ∩平面β=d
则c⊥b,d⊥b
即b⊥平面γ
a,b同时垂直于平面γ
所以a‖b

Answer 4

过直线a作平面α的平行平面r，平面r与平面β 相交于直线c，则a//c
平面α//平面r，β∩α=b，β∩r=c
得b//c
所以a//c

Answer 5

用反证法
假设a不//b，即a与b有交点
因为a//平面α
所以a与平面α没有交点
又因为直线α‖平面β
所以a与平面β没有交点，
因为平面α∩平面β＝b
所以a与b那样交点
这与假设矛盾
所以假设错误
所以原名题正确

Answer 6

过直线a任意一点A分别作平面α、β垂线AB和AC，过C点作垂线CD垂直于直线b与D点。连接BD。很容易能证明直线a和直线b都垂直于平面ABCD。
由定理可知道，同时垂直于一个平面的两条直线是平行的。