Question

已知函数f(x)=2sin(2x+φ)对任意的实数恒有f(π/3-x)=f(π/3+x)成立

已知函数f(x)=2sin(2x+φ)对任意的实数恒有f(π/3-x)=f(π/3+x)成立

1.求φ的最小正值
2.当φ取最小正值时，求函数f(x)在x∈[-π/4,π/6]上的值域。
求详细过程。。。。。。。。

Answer 1

1
函数f(x)=2sin(2x+φ)对任意的实数恒有f(π/3-x)=f(π/3+x)成立
则f(x)图像关于直线x=π/3对称
将x=π/3代入，f(π/3)为π函数的最值
即2×π/3+φ=kπ+π/2,k∈Z
∴φ=kπ-π/6,k∈Z
取k=1得最小正数φ=5π/6
2
φ=5π/6时，
f(x)=2sin(2x+5π/6)
∵x∈[-π/4,π/6]
∴2x∈[-π/2,π/3]
∴2x+5π/6∈[π/3,7π/6]
∴2x+5π/6=π/2时，f(x)max=2
2x+5π/6=7π/6时，f(x)min=-1
∴函数的值域为[-1,2]

Answer 2

解(1)函数的对称轴是x=π/3,

2sin(2x+Φ), 2x+Φ=kπ+π/2 对称轴是x=kπ/2+π/4-Φ/2

∴π/3=kπ/2+π/4-Φ/2]à

当k=1时, π/3=3π/4-Φ/2, Φ=5π/6(当k=0,得Φ<0,舍去)

(2)f(x)=2sin(2x+5π/6),

-π/4≤x≤π/6àπ/3≤2x+5π/6≤7π/6à-1/2≤f(x)≤1