Question

可积函数一定有界，这种说法是否正确请说明为什么不考

Answer 1

连续的可积函数才必有界，因为连续函数必有原函数，而且这里讨论有界是在闭区上的，原函数一定可导也就一定连续，所以在闭区间上必定取得最大最小值，所以一定有界

Answer 2

不对。例如，∫<0,1>dx/√x=2√x|<0,1>=2.
函数1/√x在(0,1)无界，但可积。

Answer 3

可积函数必有界，书上重要结论

Answer 4

∫<a,b>f（x）dx存在，f（x）在[a,b]上有界
有人说为什么∫dx/√x=2√x，这积分区间出现了原点0
如果积分区间包含了原点，则积分是广义积分，是不可积的，
我遇到过一种情况
∫<0,1>xdx/√（1-x^2）=1
这个凑微分的过程中遇到了
-1/2·∫d(1-x^2)/√(1-x^2)=2√（1-x^2）的情况，
但在∫<0,1>xdx/√（1-x^2）=1中分母√（1-x^2）≥1，取不到0点，所以才可积
总结：遇到积分区间包含了原点，是不可积的

Answer 5

书第五章，可积必有界