Question

已知直线y=-根号3/3x+1与x轴,y轴分别交于点A,B,以线段AB为直角边

直线y=-根号3/3x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，点p(1,a)为坐标系内一动点。
问题：要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值。

PS：我不要网上复制来的答案。要有详细过程。

Answer 1

解：如图，根据题意，P点有两种可能P1和P21、 先求P1点的a
根据y=-[(√3)/3]x+1得：A点的坐标为（√3，0）、B点的坐标为（0，1）
∴OB=1、OA=√3, AB=√(OB^2+OA^2)=2=AC
∵∠BAC=90°∴三角形ABC的面积=(1/2)AB×AC=2
三角形ABP1的面积=梯形AODP1的面积+三角形AOB的面积－三角形BDP1的面积=三角形ABC的面积
∵DP1=1、OA=√3、OD=a、OB=1、DB=OD+OB=a+1
∴S△ABP1=(1/2)(DP1+OA)×OD+(1/2)OA×OB－(1/2)DP1×DB=（1/2）AB×AC
∴(1/2)（1+√3）×a+(1/2) √3×1－(1/2) ×1×(a+1)= （1/2）×2×2
解得：a=(1/3)[(5√3)-3]
∵P1在第四象限∴a=-(1/3)[(5√3)-3]
2、 求P2点的a
三角形ABP2的面积=梯形AOEP2的面积－三角形AOB的面积－三角形BEP2的面积=三角形ABC的面积
∵EP2=1、OA=√3、OB=1、OE=a、BE=OE-OB=a-1
∴S△ABP2=（1/2）（EP2+OA）×OE－（1/2）OA×OB－（1/2）EP2×BE=（1/2）AB×AC
即：（1/2）（1+√3）a－（1/2）×√3×1－（1/2）×1×(a-1) =（1/2）×2×2
解得：a=(√3)+1
∴实数a的值为-(1/3)[(5√3)-3]或(√3)+1

Answer 2

y=-√3/3x+1, A(√3,0), B(0,1),
AC=AB=√3+1=2,S△ABC=1/2AB*AC=1/2*2*2=2,
p(1,a), √3x+3y-3=0, d=|√3+3a-3|/√3+9==|√3+3a-3|/2√3
S△ABP=1/2AB*d=|√3+3a-3|/2√3,
S△ABP=S△ABC,|√3+3a-3|=4√3,
由|√3+3a-3|=4√3得, a1=√3+1
由|√3+3a-3|=-4√3得,a2=1-5√3/3,
所以 a=√3+1或a=1-5√3/3