Question

高中数学求值域：求使函数y=(x^2+ax-2)/(x^2-x+1)的值域为(﹣∞,2)的a的取值范围

如果直接用Δ法
得(y-1)^2-(y+a)x+y+2=0
Δ>=0
(y+a)^2-4(y-1)(y-2)>=0
化简得-3y^2+16y+a^2+6>=0
二次项系数为负，怎么可能使y在(﹣∞,2)>=0
这道题应该可以直接用德尔塔法然后解出参数吧，但是为什么到了上一布就不对了呢
不小心把错误的化简写上去了。。。

Answer 1

y=(x^2+ax-2)/(x^2-x+1)
得yx²-yx+y=x²+ax-2
即(y-1)x²-(y+a)x+y+2=0
y应使方程有实数解
y-1=0时，
方程即-(a+1)x+3=0 有解a+1≠0
y-1≠0时，方程有实数解的条件为
Δ=(y+a)^2-4(y-1)(y-2)>=0
y²+2ay+a²-4(y²-3y+2)≥0
-3y^2+(2a+12)y+a^2-8≥0
即3y²-(2a+12)y-a²+8≤0
它的解集不可能为(-∞,2)
是题目有问题，不是你的方法的问题

追问

我就是觉得奇怪啊
书上的解法是令(x^2+ax-2)/(x^2-x+1)0 此不等式对x∈R恒成立
德尔塔<0
解得-6<a<2
为什么这种方法又能解出来了。。。

追答

用函数的极限的方法研究一下

分母x²-x+1>0恒成立，函数的定义域为R

lim(x-->∞)(x^2+ax-2)/(x^2-x+1)

=lim(x-->∞)(1+a/x-2/x²)/(1-1/x+1/x²)

=1

即函数当x-->+∞和x-->-∞时，都有y-->1

∴不会有(-∞,2)的值域

 

题目是错的，解法也是有问题的

 解不等式(x^2+ax-2)/(x^2-x+1)<2

 并不等价于函数的值域为(-∞,2)

 

这个解法是对于函数的最大值小于2的解法

 

因此，对于错题，你没有办法用正确的方法解出的

下面是我画的，a取两个值时的图像

Answer 2

你化简时错了
(y+a)^2-4(y-1)(y+2)>=0
化简后是-3y^2+(2a-4)y+a^2+8>=0
即3y^2-(2a-4)y-a^2-8<=0
这样来解

解:
因为y∈(-∞,2)
所以(x^2+ax-2)/(x^2-x+1)<2
而x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4>0,
∴x^2+ax+1<2(x^2-x+1)
即x^2-(a+2)x-4>0
令f(x)=x^2-(a+2)x+4,
二次项系数1>0,
所以f(x)为一开囗向上的抛物线,
f(x)>0恒成立时,
图象与X轴无交点,
∴[-(a+2)]^2-4×1×4<0
即(a+6)(a-2)<0
即-6<a<2.
∴实数a∈(-6,2)
这题有问题，把(﹣∞,2)改为（m,2)你那方法就可以
即3y^2-(2a-4)y-a^2-8<=0的解是m<x<2
即m,2是方程3y^2-(2a-4)y-a^2-8=0的解，只要解出a就行。
3*2^2-(2a-4)*2-a^2-8=0解得a=2或a=-6
当a=2时3y^2-(2a-4)y-a^2-8<=0化为3y^2--12<=0即 -2<=y<=2 所以m=-2 区间（m,2)为（-2，2）
当a=-6时3y^2-(2a-4)y-a^2-8<=0化为3y^2+16y-44<=0即-22/3<=y<=2所以m=-22/3
区间（m,2)为（-22/3，2）

Answer 3

分子不为0吧···
如果不是再问

追问

没有限定分子哦，可以为0
我就想知道德尔塔法应该可以求的，为什么我这样算有问题，中间哪里有问题