剩余定理 余数定理

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流蓉白0V
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余数定理是指一个多项式f(x) 除以一个线性多项式(x-a)的余数是 f(a)。若f(a)=0,则(x-a)为多项式f(x)的因式。例如,(5x³+4x²-12x+1)/(x-3) 的余式是 5·3³+4·3²-12·3+1=136。

广义剩余定理亦称广义贝祖定理,是余数定理在矩阵多项式上的推广。

扩展资料:

孙子定理是中国古代求解一次同余式组(见同余)的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:

有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题,以及以上具体问题的解法,因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

参考资料:百度百科-孙子定理(余数定理) 百度百科-广义剩余定理

Dilraba学长
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孙子定理是中国古代求解一次同余式组(见同余)的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题。

余数定理(Polynomial remainder theorem)是指一个多项式f(x) 除以一个线性多项式(x-a)的余数是 f(a)。若f(a)=0,则(x-a)为多项式f(x)的因式。例如,(5x3+4x2-12x+1)/(x-3) 的余式是 5·33+4·32-12·3+1=136。

扩展资料

根据除法的定义及性质可知,被除数=除数×商+余数。

设多项式P(x)除以一次式(x-a)所得的商为Q(x),余数为R,根据上面的性质可以列出下列恒等式:

令x=a,代入上式即得P(a)=(a-a)×Q(a)+R=R。因此得到结论:P(x)除以(x-a)后的余数R=P(a)。

注意:若除式不为(x-a)的类型,我们依然可以利用上面的方法来求余数(式),即先求出使除式为0的x的值,再代入恒等号两边。

参考资料余数定理_百度百科

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WskTuuYtyh
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原题:一个数被5除余2,被6除少2,被7除少3,问这个数最小是多少?
解;
一个数被5,6,7除,余数分别与2,-2,-3相当,问这个数最小是多少?
注意:这里将题意理解为求最小正整数解。

写成同余式(以下用==表示同余号)
即是
x==
2 mod 5
-2 mod 6
-3 mod 7
对中国剩余定理一个简单的改进可以是这样:

x=5*6*7*(a/5+b/6+c/7) mod 5*6*7
即x=6*7*a+5*7*b+5*6* c+ 5*6*7 t
代入原题即得
6*7*a==2 mod 5
5*7*b==-2 mod 6
5*6*c==-3 mod 7
求得
a==1 mod 3, 或者说是形如-1+3u的任意整数。
b=2 mod 5, ...
c=2 mod 7

剩下的就是如果计算出x来了。下面也给了简化方法。
从下面这个式子上看
x=5*6*7*(a/5+b/6+c/7) mod 5*6*7

我们看到,我们需要的x的值,只要取以5*6*7作分母时的分数(a/5+b/6+c/7) 的分子就行了,
如果我们将 a/5+b/6+c/7表示成带分数,即整数加真分数的形式。

还可以发现,如果要取最小正整数解,就取这个真分数的分子就形子。。
在计算过程中,
任意加减一个整数,造成数的增大和变小,并不影响我们的结果。
同时,任意交换加项,也不影响。
下面我们来计算:
1/5+2/6+2/7=16/30+2/7=172/210
结果就是172

由此思路我得到一些更好的形式和简化过程,略。
追问
mod是怎么个意思  没学过啊  不好意思
追答
a == r mod m 就是说a 与 r 除以m 的余数相同, 其中包括这样的特例情况:
r就是a 除以 m所得余数。
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