Question

在平行四边形ABCD中，∠A=π/3，边AB,AD的长分别是2,1，若M,N分别是边BC,CD上的点，且满足

|向量BM|/|向量BC|=|向量CN|/|向量CD|,则向量AM和向量AN的内积最小值是？在线等，谢谢大家的帮忙

Answer 1

设|向量BM|/|向量BC|=|向量CN|/|向量CD|=t (0≤t≤1)，以下省略向量二字：
则BM=tBC=tAD，CN=tCD= -tAB，由题意知，AB·AD=|AB|·|AD|cosA=1，
∴AM·AN=(AB+BM)·(AD+DN)=(AB+tAD)·[AD+(1-t)AB]
=(1-t)|AB|²+t|AD|²+[t(1-t)+1]AB·AD=4(1-t)+t+(t-t²+1)
= -t²-2t+5= -(t+1)²+6，
由0≤t≤1知，当t=1(M与C重合，N与D重合)时，AM·AN取最小值2。