Question

如图，已知在平面直角坐标系xOy中有一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-√3,0)，且右顶点为D

如图，已知在平面直角坐标系xOy中有一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-√3,0)，且右顶点为D(2,0),设点A的坐标是(1,1／2)
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程;
(3)过原点O的直线交椭圆于点B,C,求三角形ABC面积的最大值

Answer 1

1、∵c=√3，a=2,
∴b^2=a^2-c^2=1,
∴椭圆方程为：x^2/4+y^2=1,
2、设动点P（x0,y0),M（x,y),A(1,1/2),M是PA的中点，
根据中点公式，x=(x0+1）/2，
x0=2x-1,（1）
y=(y0+1/2)/2,
y0=2y-1/2,（2）
∵P(x0,y0)在椭圆上，
∴x0^2/4+y0^2=1,
(2x-1)^2/4+(2y-1/2)^2=1,
即线段PA中点M的轨迹方程为：（x-1/2)^2+4(y-1/4)^2=1,
3、设经过原点O的直线方程为：y=kx,(1)
kx-y=0,
根据点线距离公式，
A(1,1/2)至直线距离d=|k-1/2|/√（1+k^2),
椭圆方程为：x^2/4+y^2=1,(2)
(1)代入（2）式，
(1+4k^2)x^2-4=0
根据韦达定理，
x1+x2=0,
x1x2=-4/(1+4k^2),
根据弦长公式，
|BC|=√（1+k^2)(x1-x2)^2=√（1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√（1+k^2)[16/(1+4k^2)]
=4√[（1+k^2)/(1+4k^2)],，
△ABC面积：S=BC*d/2=(1/2)4√[（1+k^2)/(1+4k^2)]*|k-1/2|/√（1+k^2)
=2|k-1/2|/√（1+4k^2),
(2k-1)^2=S^2(1+4k^2)
4k^2-4k+1=S^2+4S^2k^2,
4(1-S^2)k^2-4k+1-S^2=0,
要使二次方程有实数解，则△>=0,
16-16(1-S^2)^2>=0,
(1-S^2)<=1,
-1<=1-S^2<=1,
0<=S^2<=2,,
∴S<=√2，
∴△ABC（max)=√2。

Answer 2

郭敦顒回答：
(1)设该椭圆的标准方程是：x²/a²+y²/b²=1
∵左焦点为F(-√3,0)，∴右焦点为F′(√3,0)，半焦距c=√3，c²=3
∵右顶点为D(2,0)，∴a=2，a ²=4
∵a ²= b ²+ c ²，∴b ²= a ²－c²=4－3=1
∴椭圆的标准方程是：x²/4+y²/1=1，（或写为x²/2 ²+y²/1 ²=1）
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程;
点A的坐标是(1,1／2)
点P的坐标是P（x，y），PA中点M的坐标是M（x0，y0），
M的轨迹方程是一椭圆
x0= （x+1）/2，y0=（y+0.5）/2，
∴x=2x0－1，y=2y0－0.5，
代入椭圆的标准方程x²/4+y²/1=1，得
（2x0－1）²/4+（2y0－0.5）²/1=1，此即为线段PA中点M的轨迹方程。
（3）求过原点O的直线交椭圆于点B,C,求三角形ABC面积的最大值
连OA，则OA的直线方程是：y=k x，k=（1/2）/1=1/2，∴y=（1/2）x
OA=√（1+1/4）=1.1180
过O作BC⊥OA，交椭圆x²/4+y²/1=1于B、C，（B在第二象限，C在第四象限）
BC的直线方程是：y=－（1/k）x，y=－2 x
将y=－2 x代入椭圆x²/4+y²/1=1得，x²/4+4 x ²/1=1，
∴17x²=4，x1=√（4/17）=0.485，x2=－0.485
∴y1=－0.97，y2=0.97，
∴B点坐标是B（－0.485，0.97），C点坐标是C（0.485，－0.97），
∴OB=√（|－0.485|²+0.97²）=1.0845，BC=2OB=2.169，
ABC面积的最大值=BC•OA/2=2.169×1.1180/2=1.2125。

Answer 3

⑴ 2²-﹙√3﹚²＝1 方程为 x²/2²+y²/1²＝1

⑵ 设M﹙x,y﹚则 ﹙2x-1,2y-1/2﹚∈x²/2²+y²/1²＝1

得到M方程 ﹙x-1/2﹚²/1²+﹙y-1/4﹚²/﹙1/2﹚²＝1

⑶ 设直线方程 y＝kx 不难算得
B﹙-2/√﹙4k²+1﹚,-2k/√﹙4k²+1﹚﹚
C﹙2/√﹙4k²+1﹚,2k/√﹙4k²+1﹚﹚
S＝﹙1/2﹚×
| 1 1 1/2 |
| 1 -2/√﹙4k²+1﹚ -2k/√﹙4k²+1﹚ |
| 1 2/√﹙4k²+1﹚ 2k/√﹙4k²+1﹚ |
＝﹙1-2k﹚/√﹙4k²+1﹚
从dS/dk＝0 得到k＝-1/2 S＝√2﹙⊿ABC的最大面积﹚