Question

已知函数f(x)=loga^(x+1/x_1)(a>o且a不等于1).判断f(x)的单调性,并证明

Answer 1

已知函数f(x)=log‹a›[(x+1)/(x-1)]；(a>o且a不等于1).判断f(x)的单调性,并证明

解：定义域：由(x+1)/(x-1)>0，得定义域为x<-1或x>1；
由于f(-x)=log‹a›[(-x+1)/(-x-1)]=log‹a›[(x-1)/(x+1)]=log‹a›[(x+1)/(x-1)]⁻¹=-log‹a›[(x+1)/(x-1)]=-f(x)
故f(x)是奇函数，其图像关于原点对称。
当x>1时，f(x)=log‹a›(x+1)-log‹a›(x-1)；
此时f'(x)=1/[(x+1)lna]-1/[(x-1)lna]=[1/(x+1)-1/(x-1)]/lna=-2/[(x²-1)lna]
由于x>1，故x²-1>0恒成立；f'(x)的符号取决于lna的符号：当a>1时lna>0，此时f'(x)<0；故当
a>1时f(x)在区间(1，+∞)内单调减；由于是奇函数，故在区间(-∞，-1)内也单调减；
当0<a<1时，lna<0，此时f'(x)>0；故当0<a<1时f(x)在区间(1，-∞)单调增；由于是奇函数，故
在区间(-∞，-1)内也单调增。
即当a>1时该函数在其定义域内单调减；当0<a<1时该函数在其定义域内单调增。