Question

已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0 (1)f(0)=? (2)f(x)的解析式

若g(x)=kx-2k=5,对任意m∈【1,4】，总存在n∈【1,4】，使得f(m)=g(n)成立，求实数k的取值范围 ！！！！！！！！！！！
g(x)=kx-2k+5 打错了

Answer 1

1.已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立，且f(1)=0 ；(1)f(0)=? (2)f(x)的解析式

解：(1).令x=1，y=0，则有f(1+0)-f(0)=1(1+0+1)=2，由于f(1)=0，故f(0)=f(1)-2=0-2=-2；
(2)f(x+0)-f(0)=f(x)+2=x(x+0+1)=x(x+1)，故f(x)=x(x+1)-2=x²+x-2；
2.若g(x)=kx-2k=5,对任意m∈[1，4]，总存在n∈[1，4]，使得f(m)=g(n)成立，求实数k的取值范围
解：【g(x)=kx-2k=5，有没有写错？按此写法，g(x)=5是常量，对吗？】
【此题中的f(x)是否就是上题中的fx)=x²+x-2？】
【请说明以上二问题，我再作答】

追问

g(x)=kx-2k+5 写错了

追答

若g(x)=kx-2k+5，f(x)=x²+x-2，对任意m∈[1，4]，总存在n∈[1，4]，使得f(m)=g(n)成立，求实数k的取值范围

解：f(x)=x²+x-2=(x+1/2)²-1/4-2=(x+1/2)²-9/4，即f(m)=(m+1/2)²-9/4；开口朝上，对称轴x=-1/2；
当m∈[1，4]时，f(m)单调增，且-2≦f(m)≦18；
g(x)=kx-2k+5；要对任意m∈[1，4]，总存在n∈[1，4]，使得f(m)=g(n)成立，则必须g(n)在[1，4]
内单调增，即必须k>0，且g(1)=-k+5≦-2，即k≦7；g(4)=2k+5≧18，即k≧13/2；故13/2≦k≦7
这就是k的取值范围。

Answer 2

f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1) 对于所有实数x,y成立. 所以当x=-y的时候也成立
所以f(0)-f(y)=-y(-y+2y+1)=-y^2-y. 然后用f(1)=0, 得出f(0)=-2

把y=0 带入, f(x)-f(0)=x(x+1). 所以f(x)=x^2+x-2

你的追问太看懂
g(x)=kx-2k=5是什么意思
不管是什么吧, 是要求K在什么范围内的时候, f(x)-g(n) 在[1,4]内都有根
也就是 x^2+x-2-g(n), 这是一个关于x的1元2次方程, 用求根公式 b^2-4ac>=0 . 根据n的范围 可以得出k的范围

追问

+5打错了