Question

已知抛物线y^2=2px,p>0,焦点为F，AB为抛物线上两点，且角AFB为60度，M为AB中点，N为M在准线上的射映

已知抛物线y^2=2px,p>0,焦点为F，AB为抛物线上两点，且角AFB为60度，M为AB中点，N为M在准线上的射映，求MN/AB的最大值

Answer 1

可作A在准线的射影C，B的射影D，则有：AC=AF，BD=BF，
可证MN=（AC+BD）/2=（|AF|+|BF|)/2；可设|AF|=m，|BF|=n；
|AB|=√(AF²+BF²-2AF*BFcos60）=√（m²+n²-mn）；
|MN|/|AB|=（m+n)/√（m²+n²-mn）=√[（m+n)²/（m²+n²-mn）]
=√[（m²+n²+2mn)/（m²+n²-mn）]=√[1+3mn/（m²+n²-mn）]；
因为当且仅当m=n时，3mn/（m²+n²）<=3/2，所以|MN|/|AB|的最大值为√(1+3/2)=根号(5/2)=根号10/2

追问

答案不对啊 应该是1才对

追答

算错了,应该是:
MN/AB=[(m+n)/2]/根号(m^2+n^2-mn)=根号[1+3mn/(m^2+n^2-mn)]/2<=根号(1+3)/2=2/2=1
即最大值是:1