Question

设A（X1，Y1），B（X2，Y2）是椭圆

设A（X1，Y1），B（X2，Y2）是椭圆X2/a2+ Y2/b2=1（a>b>0）上的两点，m=（x1/a，Y1/b），n=（x2/a，y2/b），且m*n=-3/4，椭圆离心率e=1/2，短轴长为2倍根号3，O为坐标原点。（1）求椭圆方程；（2）若存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F（c，0）（c为半焦距），求k的值；（3）试问三角形AOB的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由。

Answer 1

（1）短轴长为2√3，b=√3.
e=c/a=1/2,∴a^=4c^=4(a^-3),3a^=12,a^=4,c=1,
∴椭圆方程是x^/4+y^/3=1.
(2)设AB:y=k(x-1),代入上式得
3x^+4k^*(x^-2x+1)=12,
(3+4k^)x^-8k^*x+4k^-12=0,①
则x1+x2=8k^/(3+4k^),x1x2=(4k^-12)/(3+4k^),
y1y2=k(x1-1)*k(x2-1)=k^*(x1x2-x1-x2+1)
=k^*(4k^-12)/(3+4k^)-8k^4/(3+4k^)+k^
=-9k^/(3+4k^),
∴m*n=x1x2/4+y1y2/3=（k^-3)/(3+4k^)-3k^/(3+4k^)=-3/4,
∴-2k^-3=-9/4-3k^,k^=3/4,
∴k=土√3/2.
（3）①/3变为2x^-2x-3=0,|x1-x2|=√7，
|AB|=√7*√（1+3/4）=7/2，
O到AB的距离h=|√3/2|/√（1+3/4）=√（3/7），
∴S△OAB=(1/2)|AB|h=√21/4，为定值.