Question

一到高考数学模拟题

如图，已知长方形ABCD中，AB=2，A1 B1分别是AD！BC边上的点，且AA1=BB1=1.A1E垂直B1D于点E.F为AB的中点。把长方形ABCD沿直线A1B1折成直二面角，且直线B1D与平面A1B1B所成角为30度。
（1）求异面直线A1E与B1F所成角的余弦值。
2.求二面角A1——B1F-D的正切值。
参考答案中给了 建系：A1-XYZ 他说因为∠DB1A1=30° 所以A1E=1 A1D=三分之二倍根号3 请问 A1D=三分之二倍根号3 怎么来的

Answer 1

so easy喽，先吐槽下没有图啊
（1）因为B1D与面A1B1B所成角为30度，A1B1=AB=2。可知A1D=2√3/3，A1E=1
做EG⊥A1B1于G，可知EG=√3/2，A1E=1/2
以A1A、A1B1、A1D为x、y、z轴建立空间直角坐标系A1-xyz
A1（0,0,0）B1（0,2,0）F（1,1,0）E（0,1/2,√3/2）
A1E=（0,1/2,√3/2），B1F=（1,-1,0）
cos<A1E,B1F>= -√2/4
（2）D（0,0,2√3/3）
A1D=（0,0,2√3/3）B1D=（0,-2,2√3/3）
面A1B1F法向量为A1D=（0,0,2√3/3），设面DB1F法向量为n=（x,y,z）
联立n⊥DB1，n⊥B1F，令z=3得n=(√3,√3,3)
cos<A1D,n>=√15/5
二面角余弦值为√15/5，所以由勾股定理得二面角正切值为√6/3
以上为我按照标准答案的步骤解答的，纯手写，请给分噢，谢谢

追问

他说因为∠DB1A1=30° 所以A1E=1 A1D=三分之二倍根号3 请问 A1D=三分之二倍根号3 怎么来的

追答

俩面垂直，A1D⊥俩面相交线，所以A1D⊥面ABB1A1。又告诉你直线B1D与平面A1B1B所成角为30度，可知角A1B1D为30度，之后勾股定理就得出来了

Answer 2

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