Question

高数类试题求解析。

Answer 1

如图

还有什么疑问吗？

追答

注意积分式要区分x和t，t是用来表达切线方程的系数，在求面积时不是积分变量。求得面积表达式后成了另一个函数的变量

Answer 2

Answer 3

解：
设切线为L，切点P(a,lna)
切线L、两条直线、x轴围成的梯形面积为S₁
曲线y=lnx、两条直线、x轴围成的面积为S₂
切线L、两条直线、曲线ya=lnx围成的面积为ΔS
则有ΔS=S₁-S₂
因为S₂为常数，所以只要求得S₁最小即可。
对y=lnx求导得y'=1/x
所以切线方程L：y=x/a+lna-1
L与两直线交点分别为（2，2/a+lna-1）、（6，6/a+lna-1）
所以梯形面积S₁=(6-2)(2/a+lna-1+6/a+lna-1)/2=4(4/a+lna-1)
对a求导：S₁'=4(-4/a²+1/a)
当S₁'=0时S₁有极值，即当a=4时有极值
因为S₁'为凹函数（利用二次函数及反比例函数的复合函数自行判断，初中知识）
所以a=4时为极小值。
因为4∈[2，6]，符合题意，所以当a=4时围成的面积最小。
把a=4代入到L中可得切线方程：
L：y=x/4+ln4-1