Question

已知函数f(x)=(a²+4)e^(x－5)，g(x)=(x²+ax－2a－3)e^(3－x)

求证：当a＜﹣6时，一定存在x1、x2∈[0,5]使f(x1)－g(x2)＞40

Answer 1

目测:
f(x)里面拆开来,a²+4,当a＜﹣6时,值域(40,+无穷); e^(x－5)在[0,5]中,值域(0,1]
所以f(x)最大值情况唯有当x=5时是最大, 此时等于a²+4的值域为(40,+无穷).
而要证明f(x1)－g(x2)＞40,只需再证明g(x)有小于或等于0的值的情况就可以了吧!
g(x)里面拆开来,e^(3－x)在x∈[0,5]的范围,假设取x=3,则e^(3－x) =1.
x²+ax－2a－3=9+3a-2a-3=6+a,因为a<-6,所欲6+a < 0. 再乘于1,不变.
那这个目测不就可以解出来了.

解: 直接把x1=5 , x2=3 代入函数求得f(x1)-f(x2)=(a²+4) - (6+a)=a²-a-2,
其中a<6,值域可求得(40,+正无穷)

Answer 2

给你提供个思路吧，如果不会再私信我。

求证的问题可以转化为：在[0,5]中，f(x)的最小值-g(x)的最大值>40;

那么问题可以转化为求f(x),g(x)的 在有界区域内的极值问题；

从而可以对F(X),G(x)求导进行求极值，但是不要落下边界的情况；

a值应该是用到判断一元二次方程的解的问题上，

也就是△上，

比如 通过运算 得出 某一个系数含有A的一元二次方程，

算出它的△，当A<-6时，此方程 >0 或者 <0 ；

此时大的方程就可以求解；

你试试吧。

目测应该能够算出来。

追问

g'(x)=[﹣x²+(2－a)x+3a－3]e^(3－x)
极大值怎么求？

追答

求极值点： 令g'(x) = 0 ;求出X的值；
再求边界点，当X=0，5时候G(X)的值；

然后求g''(x);
进而判断g'(x)的变化情况；

这个g''(x)名称叫什么我忘了，毕竟毕业好久都不记得了

Answer 3

看来是无中的。。