Question

已知函数f(x)=x-2/x+1-alnx

已知函数f(x)=x-2/x+1-alnx，a＞0， （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）设a=3，求 在区间{1，e平方 }上值域。期中e=2.7182

Answer 1

f(x)=x-2/x+1-alnx
f'(x)=1+2/x²-a/x
令f'(x)=0
得(x²-ax+2)/x²=0
△=a²-8
(Ⅰ)当△<0 即0<a<2√2时 f'(x)>0 单调增
当△>0 即 x=[a±√(a²-8)]/2
当 x>[a+√(a²-8)]/2 f'(x)>0 单调增
当 x<[a-√(a²-8)]/2 f'(x)>0 单调增
当 [a-√(a²-8)]/2<x<[a+√(a²-8)]/2 f'(x)<0 单调减
(Ⅱ)a=3
f'(x)=(x²-ax+2)/x²=(x-1)(x-2)/x²
令f'(x)=0
x=1 x=2
当 1<x<2 单调减
x>2 单调增
x=2时有极小值
则f(2)=2-1+1-3ln2=2-3ln2
f(1)=1-2+1-0=0
f(e²)=e²-2/e²+1-6=2.1179
值域为[2-3ln2，2.1179]