Question

已知函数f(x)=(x^2+a^2)/x(a>0),求证:函数f(x)在区间(0,a]上是减函数。

设x1<x2,x1,x2属于（0，a】
f(x1)-f(x2)=(x1²+a²)/x-(x2²+a²)/x2
=(x1²x2+a²x2-x2²x1+a²x1)/x1x2

之后怎么化简？

Answer 1

f(x)=x+a^2/x
0<x1<x2<=a
f(x1)-f(x2)
=x1-x2+a²/x1-a²/x2
通分，分母= x1x2>0

分子=x1²x2-x1x2²+a²x2-a²x1
=(x1x2-a²)(x1-x2)
0<x1<a
0<x2<=a
所以x1x2-a²<0
x1-x2<0
所以分子大于0
所以
x1-x2+a²/x1-a²/x2>0

即0<x1<x2<=a时f(x1)>f(x2)
所以是减函数

追问

f(x)=(x^2+a^2)/x,f(x1)-f(x2)=(x1²+a²)/x-(x2²+a²)/x2.

追答

分子=x1²x2-x1x2²+a²x2-a²x1=x1x2(x1-x2)+a^2(x2-x1)
=(x1x2-a²)(x1-x2)
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