Question

已知函数f(x)=ax^2+x+(1/x)^2+a/x+b若实数a,b使得f(x)=0有实根

已知函数f(x)=ax^2+x+(1/x)^2+a/x+b（x∈R且x≠0）若实数a,b使得f(x)=0有实根,则a^2+b^2的最小值？

网上搜到类似题，但那个可以配方换元，这个呢？

Answer 1

解：由已知f(x)=x^2+1/(x^2)+ax+a/x+b=(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2
令t=x+1/x,则t≤2或t≥2，且f(t)=t^2+at+b-2
要使f(x)=0有实根，即 使f(t)=0在t≤-2或t≥2上有解。
即t^2+at+b-2=0在t≤-2或t≥2上有解。
Δ=a^2-4(b-2)≥0，其次f(-2)≤0或f(2)≤0
得到-2a+b+2≤0或 2a+b+2≤0
画出线性规划图形
由题意 根号下(a^2+b^2)表示原点到(a,b)距离
根据图形易知，
原点（0,0）到(a,b)距离最短距离为原点（0,0）到直线-2a+b+2=0 或2a+b+2=0的
易得其最小距离是 2/√5
所以a^2+b^2的最小值为4/5

Answer 2

解：f(x)=x2+ax+1 x2 +a x +b=（x+1 x ）2+a（x+1 x ）+b-2
设x+1 x =t，则t≥2或t≤-2
则有f（t）=t2+at+b-2
∵t2+at+b-2=0有实根，
∴△=a2-4（b-2）≥0，且小根小于-2或大根大于2
∴|a|≥4或|a|≤4且b≤6
f（t）=t2+at+b-2=0的解为t=-
1
2
（a±
a2-4b+8
），则|t|≥2．
将此方程作为关于a、b的方程，化简得：±
a2-4b+8
=2t+a≥ta+b+k2-2=0
则a2+b2的最小值即为原点到该直线的距离的平方，
得d（t）=
|t2 -2|
t2+1
≥d2（t）=t2-5+
9
t2+1
≥d2（t）min=
4
5 ，当|t|=2时，等号成立．