Question

已知函数f(x)=a-1/绝对值x绝对值 1.求证函数y=f(x)在(0,正无穷)上是增函数

2.若f(x)＜2x在（1，正无穷）上恒成立，求实数a的取值范围
3.若函数y=f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求实数a的取值范围
最主要是地3题。。。谢谢各位啊··

Answer 1

（1）在（0，正无穷）上x都为正，所以f(x)=a-1/x
f(x)的导函数为1/x²在（0，正无穷）上是恒大于0的，所以
f(x)在（0，正无穷）上是增函数。
（2）f(x)＜2x在（1，正无穷）上恒成立，所以x恒大于0，
f(x)＜2x即a-1/x<2x

2x²-ax+1>0，即要使该式在（1，正无穷）恒成立，
只要使 2x²-ax+1的最小值在（1，正无穷）上恒大于0即可。

（下面是求 2x²-ax+1最小值的步骤）
记 g(x)=2x²-ax+1。它的对称轴为x=a/4
当a/4<1时 (即对称轴在x=1的左边），a<4，
g(x)的最小值为g(1)=2-a+1>0得a<3，即a<3满足题意

当a/4>1时（即对称轴在x=1的右边），a>4，
g(x)的最小值为g(a/4)=1-a²/8>0得a²<8，-2√2<a<2√2，由于不满足前提a>4，所以

-2√2<a<2√2不满足题意。

所以实数a的取值范围是a<3
（3） 1）求函数的单调区间
定义域：x>0或x<0
当x>0时，f(x)=a-1/x单调递增
当x<0时，f(x)=a+1/x单调递减
2）根据单调区间分情况讨论
当x>0时，f(m)=m且f(n)=n且m<n，即m=a-1/m且n=a-1/n且m<n，这条式子等价于方程
x=a-1/x有两个不等实根，即二元一次方程x^2-ax+1=0有两个正的不等实根
另一方面，当x<0时，f(m)=n且f(n)=m，即a+1/m=n且a+1/n=m且m<n<0，a=n-1/m=m-1/n
3）根据以上情况，有
（1）对称轴a/2>0，判别式delta=a^2-4>0，且x=0时等式左边=1>0.解得a>2
或（2）a^2=nm+1/mn-2 ，a-a=(n-m)-(1/m-1/n)=(n-m)-(n-m)/mn=(n-m)*(1-1/mn)=0因为n-m不等于0，所以1-1/nm=0，即mn=1，所以a^2=1+1-2=0
综上所述，a的取值范围是{a|a>2或a=0}