拉格朗日中值定理的条件中:①在闭区间[a,b]上连续②在开区间(a,b)内可导。那么…。 此处将① 50
拉格朗日中值定理的条件中:①在闭区间[a,b]上连续②在开区间(a,b)内可导。那么…。此处将①条件去掉。将②条件改成在闭区间[a,b]上可导。因为可导一定连续。所以只有...
拉格朗日中值定理的条件中:①在闭区间[a,b]上连续②在开区间(a,b)内可导。那么…。
此处将①条件去掉。将②条件改成在闭区间[a,b]上可导。因为可导一定连续。所以只有“在闭区间[a,b]上可导"这一条件是否也能使拉格朗日中值定理成立?历代数学家为什么不再对该定理的条件作进一步精简?若依我所改,不能使拉格朗日定理成立,则为什么?不是有可导一定连续了吗? 展开
此处将①条件去掉。将②条件改成在闭区间[a,b]上可导。因为可导一定连续。所以只有“在闭区间[a,b]上可导"这一条件是否也能使拉格朗日中值定理成立?历代数学家为什么不再对该定理的条件作进一步精简?若依我所改,不能使拉格朗日定理成立,则为什么?不是有可导一定连续了吗? 展开
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你好,我是一名数学老师,我来回答这个问题。
首先,你说可导函数一定是连续的,这是对的。“可导一定连续”的意思是指函数y=f(x)在点x处可导,则函数在该点连续。(详见高等数学同济5版P84页)
但“在闭区间[a,b]上可导"是指f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)在点a的右导数和在点b的左导数存在。(详见高等数肢运凳学同济5版P82页)
“在闭区间[a,b]上连续"是指f(x)在开区间(a,b)内连续,且f(x)在点a右连续和在点b左连续。(详见高等数学同济5版P61\P69页)
在点a右连续是指f(x)在点a的右导数存在且f(x)在点a的右导数等于f(a)。
条件“在闭区间[a,b]上可导"仅能说f(x)在点a的右导数存在,得不出f(悄宴x)在点a的右导数等于f(a)。所以,条件“在闭区间[a,b]上可导"推不出条件“在闭区间[a,b]上连续”,条件“在闭区间[a,b]上可导"历旅无法替代“在闭区间[a,b]上连续”。
原创不易,望采纳。有问题还可以问我。
首先,你说可导函数一定是连续的,这是对的。“可导一定连续”的意思是指函数y=f(x)在点x处可导,则函数在该点连续。(详见高等数学同济5版P84页)
但“在闭区间[a,b]上可导"是指f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)在点a的右导数和在点b的左导数存在。(详见高等数肢运凳学同济5版P82页)
“在闭区间[a,b]上连续"是指f(x)在开区间(a,b)内连续,且f(x)在点a右连续和在点b左连续。(详见高等数学同济5版P61\P69页)
在点a右连续是指f(x)在点a的右导数存在且f(x)在点a的右导数等于f(a)。
条件“在闭区间[a,b]上可导"仅能说f(x)在点a的右导数存在,得不出f(悄宴x)在点a的右导数等于f(a)。所以,条件“在闭区间[a,b]上可导"推不出条件“在闭区间[a,b]上连续”,条件“在闭区间[a,b]上可导"历旅无法替代“在闭区间[a,b]上连续”。
原创不易,望采纳。有问题还可以问我。
2017-10-30 · 知道合伙人金融证券行家
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解:1题,属“∞/∞”型,用洛必达法则,∴k1=2lim(x→∞)e^(2x)/[e^(2x)+1]=2。
2题,∵(sinx)^5=[1-(cos)^2)]^2sinx=[1-2(cos)^2+(cosx)^4]sinx,
∴k2=-15∫(0,π/2)[1-2(cos)^2+(cosx)^4]d(cosx)=8。
3题,由题设条件,D={(x,y)丨-1≤x≤1,-1≤y≤x},
∴k3=-3∫(-1,1)dx∫(-1,x){y+xye^[(x^2-y^2)/2]}dy。
而∫(-1,x){y+xye^[(x^2-y^2)/2]}dy={(1/2)y^2-xe^[(x^2-y^2)/2]}丨(y=-1,x)=(1/2)x^2-x-1/2+xe^[(x^2-1/2]。又,利用被积函数在x的积分区间是奇、偶函数的性质,
∴k3=-3∫(0,1)(x^2-1)=-3[(1/3)x^3-x]丨(x=0,1)=2。
4题,令y'-y=0,解得y=(c1)e^x。设y=v(x)e^x,代入原方程、经整理,有v'(x)=(1-x^2)e^(-x)。∴v(x)=[(x+1)^2]e^(-x)+c。∴y=(x+1)^2+ce^(-x)。又,改逗y为二次函数,∴c=0。∴k4=4。
5题核首卖,由题设条件,D={(x,y)丨y≤x≤π/6,0≤y≤π/6}。交换积分顺序,芹源D={(x,y)丨0≤y≤x,0≤x≤π/6}
∴k5=2∫(0,π/6)dx∫(0,x)(cosx/x)dy=2∫(0,π/6)cosxdx=2sinx丨(x=0,π/6)=1。
2题,∵(sinx)^5=[1-(cos)^2)]^2sinx=[1-2(cos)^2+(cosx)^4]sinx,
∴k2=-15∫(0,π/2)[1-2(cos)^2+(cosx)^4]d(cosx)=8。
3题,由题设条件,D={(x,y)丨-1≤x≤1,-1≤y≤x},
∴k3=-3∫(-1,1)dx∫(-1,x){y+xye^[(x^2-y^2)/2]}dy。
而∫(-1,x){y+xye^[(x^2-y^2)/2]}dy={(1/2)y^2-xe^[(x^2-y^2)/2]}丨(y=-1,x)=(1/2)x^2-x-1/2+xe^[(x^2-1/2]。又,利用被积函数在x的积分区间是奇、偶函数的性质,
∴k3=-3∫(0,1)(x^2-1)=-3[(1/3)x^3-x]丨(x=0,1)=2。
4题,令y'-y=0,解得y=(c1)e^x。设y=v(x)e^x,代入原方程、经整理,有v'(x)=(1-x^2)e^(-x)。∴v(x)=[(x+1)^2]e^(-x)+c。∴y=(x+1)^2+ce^(-x)。又,改逗y为二次函数,∴c=0。∴k4=4。
5题核首卖,由题设条件,D={(x,y)丨y≤x≤π/6,0≤y≤π/6}。交换积分顺序,芹源D={(x,y)丨0≤y≤x,0≤x≤π/6}
∴k5=2∫(0,π/6)dx∫(0,x)(cosx/x)dy=2∫(0,π/6)cosxdx=2sinx丨(x=0,π/6)=1。
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您说的个啥哎?答非所问啊!
别捣乱啊!前辈
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这样会使成立条件范围进一步缩小,因为原定理丛毕并没有强制辩郑旁要求两端点导数存在,也就是说原函数没必要在两端点各多存在一个左导数与右导数。携橡
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原条件更严格,你改了之镇锋后燃圆的条件更皮旅塌宽泛。就好比0小于1,和0小于5一样。都是对的,但范围不同。显然0小于1更严谨一些。
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v,这个头发是非常好的,而且他这个的话,他子孙是是做选择题,而且他这个选择介绍做的非常好的
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