Question

在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，且∠A=2∠B。若三角形的三边长为整数，面积也为整数，求△ABC面积的最小值

要解析哦~

Answer 1

由于A＋B＋C=180°，将A=2B代入得3B＋C=180°①，所以C=180°-3B，由于0＜C＜B，所以0＜180°-3B＜B，即45°＜B＜60°②；由A=2B得90°＜A＜120°③；另外由①得B=60-C/3，C＜B，所以C＜60-C/3，即C＜45°④；设角A、B、C对应的边分别为a、b、c，三角形的面积为S，则S=(1/2)bcsinA=(1/2)casinB=(1/2)absinC⑤，由于a、b、c、S均为整数，所以sinA、sinB、sinC均为有理数；由⑤及sinA=sin(2B)=2sinBcosB得a=2bcosB⑥，由此可知cosB也是有理数；由余弦定理得a^2=b^2＋c^2-2bccosA，将⑥及A=2B代入得4b^2(cosB)^2=b^2＋c^2-2bccos2B=b^2＋c^2-2bc[2(cosB)^2-1]，所以cosB=(1/2)√[(b＋c)/b]⑦，所以sinB=√[1-(cosB)^2]=(1/2)√[(3b-c)/b]⑧；由于c＜b，所以b不能整除b＋c、b不能整除3b-c，又由于cosB和sinB均为有理数，所以由⑦、⑧知b、b＋c、3b-c均为平方数，所以可设b=m^2⑨、b＋c=n^2、3b-c=l^2，所以c=n^2-m^2⑩，n^2＋l^2=(2m)^2⑩'，m、n、l为整数；⑩'式的一组整数解为n=6、l=8、m=5，代入⑨、⑩得b=25⑩''、c=11⑩'''，代入⑦、⑧得cosB=3/5、sinB=4/5(B≈53.13°)，所以sinA=sin2B=2sinBcosB=24/25(A≈106.26°)，sinC=sin(180°-3B)=sin3B=44/125(C≈20.61°)，由⑥得a=30⑩''''；由⑤得三角形的面积为S=(1/2)bcsinA=(1/2)×25×11×(24/25)=132⑩'''''；由⑩''、⑩'''、⑩''''可知a、b、c互素(最大公约数为1)，且各角的正、余弦均为有理数，所以⑩'''''式即为满足题中条件的三角形面积的最小值。

Answer 2

∵∠A＞∠B＞∠C
∴a>b>c，且都为整数
∠A=2∠B
又∠A+∠B+∠C=180º
3∠B=180º-∠C
∠B<60º
cos∠B>1/2，1/sin∠B>2/√3
由面积公式S=(1/2)absinC=(1/2)acsinB=(1/2)bcsinA，得
2S/c=asinB=bsinA=2bsinBcosB
2S/(csinB)=a=2b*cosB
a,b,c,S都是整数，

追问

S最小值是多少？好像没有写完.....