Question

若有关于x的方程2(1/4)^x-(1/2)^x+a=0有且只有一个正数解,则实数a的取值范围是？

Answer 1

楼主题目中“有且只有一个正数解”是什么意思？

一、如果是有两个相等的正数解。
解：
2(1/4)^x-(1/2)^x+a=0
2[(1/2)^2]^x-(1/2)^x+a=0
2[(1/2)^x]^2-(1/2)^x+a=0
设：(1/2)^x=y，代入上式，有：
2y^2-y+a=0
y=[1±√(1-8a)]/4
即：(1/2)^x=[1±√(1-8a)]/4
x=log【1/2】[1±√(1-8a)]/4
x=lg{[1±√(1-8a)]/4}/lg(1/2)
x=-lg{[1±√(1-8a)]/4}/lg2
x1=-lg{[1+√(1-8a)]/4}/lg2
x2=-lg{[1-√(1-8a)]/4}/lg2
因为两根相等，所以：1-8a=0
解得：a=1/8
即：方程的解为：x=-lg(1/4)/lg2
x=-(0-lg4)/lg2
x=lg4/lg2
x=2＞0
符合题意。
a=1/8

二、如果是两根一正一负。
解：
2(1/4)^x-(1/2)^x+a=0
2[(1/2)^2]^x-(1/2)^x+a=0
2[(1/2)^x]^2-(1/2)^x+a=0
设：(1/2)^x=y，代入上式，有：
2y^2-y+a=0
y=[1±√(1-8a)]/4
即：(1/2)^x=[1±√(1-8a)]/4
x=log【1/2】[1±√(1-8a)]/4
x=lg{[1±√(1-8a)]/4}/lg(1/2)
x=-lg{[1±√(1-8a)]/4}/lg2
x1=-lg{[1+√(1-8a)]/4}/lg2
x2=-lg{[1-√(1-8a)]/4}/lg2
因为原方程有且只有一个正数解
所以，
有：x1＞0、x2＜0……………………(1)
或：x1＜0、x2＞0……………………(2)
1、由(1)，有：
-lg{[1+√(1-8a)]/4}/lg2＞0………………(3)
-lg{[1-√(1-8a)]/4}/lg2＜0………………(4)
由(3)，有：lg{[1+√(1-8a)]/4}＜0
0＜[1+√(1-8a)]/4＜1
0＜1+√(1-8a)＜4
0＜√(1-8a)＜3
0＜1-8a＜9
解得：1/8＞a＞5/4，
由(4)，有：lg{[1-√(1-8a)]/4}＞0
[1-√(1-8a)]/4＞1
1+√(1-8a)＞4
√(1-8a)＞3
1-8a＞9
解得：a＜-1，
前面求出须有：1/8＞a＞5/4，
可见，矛盾。
2、由(2)，有：
-lg{[1+√(1-8a)]/4}/lg2＜0………………(5)
-lg{[1-√(1-8a)]/4}/lg2＞0………………(6)
由(5)，有：lg{[1+√(1-8a)]/4}＞0
[1+√(1-8a)]/4＞1
1+√(1-8a)＞4
√(1-8a)＞3
1-8a＞9
解得：a＜-1，
由(6)，有：lg{[1-√(1-8a)]/4}＜0
0＜[1-√(1-8a)]/4＜1
0＜1+√(1-8a)＜4
0＜√(1-8a)＜3
0＜1-8a＜9
解得：1/8＞8＞5/4
前面求出须有：a＜-1，
可见，矛盾。
因此，无论a为何值，均不可能出现x的两个一正一负的情形。
原命题不成立！

追问

唉，辛苦了，有且只有一个正数解，你可以看图像，图像与x轴正半轴只有一交点，这就对了

Answer 2

2(1/4)^x-(1/2)^x+a=0
2（1/2)^2x-(1/2)^x+a=0
看成一元二次方程2u^2-u+a=0
u=(1/2)^x
首先一元二次方程有根
所以Δ=1-8a>=0
( u1+u2)/2=1/4
一元二次方程有且只有一个正数解
说明一根为正数，一根为负数或0
即0<(1/2)^x1<1 (1/2)^x2>=1
0<u1<1 u2>=1
2*0^2-0+a>0
2*1^2-1+a<0
不存在
或者一根为正数，一根不存在
即0<(1/2)^x1<1 (1/2)^x2<0
0<u1<1 u2<0
2*0^2-0+a<0
2*1^2-1+a>0
-1<a<0
或者两根相等同为正数
1-8a=0
a=1/8
综上-1<a<0或a=1/8

望采纳，有问题请追问