Question

设函数f(x)=丨x-a丨。(1)若a=1，解不等式f(x)≥1/2(x+1)；(2)记函数g(x

设函数f(x)=丨x-a丨。(1)若a=1，解不等式f(x)≥1/2(x+1)；(2)记函数g(x)=f(x)-丨x-2丨的值域为A，若A∈[-1，3]，求实数a的取值范围

Answer 1

设函数f(x)=丨x-a丨。
(1)若a=1，解不等式f(x)≥1/2(x+1)；(2)记函数g(x)=f(x)-丨x-2丨的值域为A，若A∈[-1，3]，求实数a的取值范围。
解：(1)a=1，不等式f(x)≥1/2(x+1)即丨x-1丨≥1/2(x+1)，
当x≥1时，x-1≥1/2(x+1)，解得x≥3，
当x<1时，1-x≥1/2(x+1)，解得x≤1/3，∴x<1，
不等式f(x)≥1/2(x+1)的解为x<1，或x≥3；
(2)g(x)=f(x)-丨x-2丨= 丨x-a丨-丨x-2丨，

当a=2时，g(x)=0，
当a<2时，当x<a时，g(x)=a-x-x+2=a+2-2x∈[-1，3]，∴a+2-2x>2-a≥-1，即a≤3，∴a<2，
a+2-2x<4-2x≤3，∴a>x≥1/2，∴1/2<a<2，
当a≤x≤2时，g(x)=x-a-x+2=2-a∈[-1，3]，∴ -1≤a<2，
当x>2时，g(x)=x-a+x-2=2x-a-2∈[-1，3]，∴2x-a-2>2-a≥-1，即a≤3，∴a<2，
2a-a-2<2x-a-2≤3，∴a<5，∴a<2，
∴1/2<a<2，

当a>2时，当x<2时，g(x)=a-x-x+2=a+2-2x∈[-1，3]，∴a+2-2x>a-2≥-1，即a≥1，∴a>2，
a+2-2x<2-x≤3，∴a>x≥-1，∴a>2，
当2≤x≤a时，g(x)=a-x+x-2=a-2∈[-1，3]，∴ 2<a≤5，
当x>a时，g(x)=x-a+x-2=2x-a-2∈[-1，3]，∴2x-a-2>a-2≥-1，即a≥1，∴ a>2，
2a-a-2<2x-a-2≤3，∴a<5，∴2<a<5，
∴2<a<5，

综上所述，1/2<a<5。