Question

设【x】表示不超过x的最大整数,如【1.5】=1,【-1.5】=-2,若函数f(x)=（a*x）/（1+a*x）（a>0，a≠1）

问题：则g（x）=【f（x）-0.5】+【f（-x）-0.5】的值域为______
下面是解析，前面我都懂，就是最后一步答案为什么是{0，-1}而不是{0，-1，，-2}？

Answer 1

当a>1且x>0时
a^x>1
所以 1/2<a^x/(1+a^x)<1（这是关键想一想为什么）
即1/2<f(x)<1
所以0<f(x)-1/2<1/2
所以[f(x)-1/2]=0
又-1/2<1/（a^x+1)<1/2（想一想为什么）
-1/2<f(-x)<1/2
-1<f(-x)-1/2<0
所以[f(-x)-1/2]=-1
所以[f(x)-1/2]+[f(-x)-1/2]=-1
这就说明当
当a>1且x>0时
[f(x)-1/2]+[f(-x)-1/2]不可能是-2

同样可以说明
当a>1且x<0时的情况
当0<a<1且x>0时的情况
当0<a<1且x<0时的情况
也是如此，[f(x)-1/2]与[f(-x)-1/2]不可能同时为-1，只能一个是0，另一个是-1

也可以这样来考虑
因为f（x）+f（-x）=1
所以f（x）-0.5+f（-x）-0.5=0
[f（x）-0.5]和[f（-x）-0.5]不能同时等于-1
否则会有[f（x）-0.5]+[f（-x）-0.5]不为0
所以[f（x）-0.5]+[f（-x）-0.5]不能等于-2

Answer 2

∵f（x）+f（-x）=1
∴f（x）-0.5+f（-x）-0.5=0
∴f（x）-0.5和f（-x）-0.5不能同时小于0
∴[f（x）-0.5]和[f（-x）-0.5]不能同时等于-1
∴[f（x）-0.5]+[f（-x）-0.5]不能等于-2

Answer 3

当【f(x)-1/2】=-1时，
f(x)=（a*x）/（1+a*x）<1/2
即1-1/ （1+a*x）<1/2
1/ （1+a*x）>1/2
1+a*x>2
a*x>1
a*(-x)<1
1<1+a*(-x)<2
0<1/ （1+a*(-x)）<1/2
1/2<1-1/ （1+a*(-x)）<1
1/2<f(-x)<1
0<f(-x)-1/2<1/2
【f(-x)-1/2】=0
g（x）=【f（x）-0.5】+【f（-x）-0.5】=-1+0=-1
反之同理