Question

已知函数f(x)=x^3-ax^2-3x (1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围

已知函数f(x)=x^3-ax^2-3x.
(1) 若f(x) 在区间
（2）若x=-1/3是f(x)的极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)=bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由。

Answer 1

你第一问没完整吧？如果是下面这道题目：
已知函数f(x)=x^3-ax^2-3x.
(1) 若f(x) 在区间 [1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围
（2）若x=-1/3是f(x)的极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)=bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由
答案：
解：（Ⅰ）由题意得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x∈[1，+∞）时，恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
由 △=4a²+36＞0，a/3≤1且f′（1）=-2a≥0，
解得a≤0，
（Ⅱ）依题意得 fʹ(1/3)=0，1/3+2/3a-3=0得：a=4
∴f（x）=x³-4x²-3x，
令f′（x）=3x²-8x-3=0，
解得 x1=-1/3，x2=3
而 f(1)=-6，f(3)=-1/8，f(-13)=-1/2，
故f（x）在区间[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（Ⅲ）若函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个不同的交点，
即方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等的实数根，
而x=0是方程x³-4x²-3x=bx的一个实数根，则
方程x²-4x-3-b=0有两个非零实数根，
则 △=16+4(b+3)＞0 ；-3-b≠0，
即b＞-7且b≠-3，
故满足条件的b存在，其取值范围是（-7，-3）∪（-3，+∞）．

Answer 2

f(x)=X^3-aX^2-3X=X(X^2-aX-3)
是个复合函数增减性问题，原函数可以看两个两个函数f(x)1=X和f(x)2=X^2-aX-3
f(x)1是个最简单一次函数，f(x)2是个二次函数，讨论复函数的增减性，有个口诀：增增为增，减减为减，相异为减
f(x)1在x所有区间都是增函数，所以只需讨论f(x)2的增减性情况；
（1）f(x)2二次项系数为1，开口向上，所以函数有最小值，且最小值在函数图像对称轴上：
函数对称轴为-b/2a=-(-a)/(2*1)=-1/3
所以a=-2/3
所以在区间[-2/3,1]内，最小值为f(-1/3)
最大值为f(1)
(2)只要保证f(x)2在x∈〔1，+∞)内为增函数即可，f(x)2对称轴-b/2a<=1即可
a/2<=1;a<=2