Question

若对于任意x＞0，都有不等式 x|（x²+3x+1 ）≤a成立，则实数a的取值范围是

答案是a≥ 1|5，求解

Answer 1

∵ x/（x²+3x+1 ）≤a
∴x≤a（x²+3x+1 ）
∴ax²+(3a-1)x+a≥0
若对于任意x＞0，都有不等式 x|（x²+3x+1 ）≤a成立，有a>0
∴x²+(3-1/a)x+1≥0
即（x-1)²+(5-1/a)x≥0
∵对于任意x＞0，不等式（x-1)²+(5-1/a)x≥0成立
∴(5-1/a)x≥0
∵ x＞0
∴5-1/a≥0
∴a≥1/5
实数a的取值范围是[1/5，+∞）

Answer 2

x>0
左边=x+3+1/X≥2√(x*1/x)+3=2+3=1/5
左边最大值是1/5
所以a>=1/5