Question

如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、

AB=c
（1）求BG的长
（2）求证：DG平分∠EDF
（3）连接CG，如图2，若△BDG∽△DFG，求证：BG⊥CG

Answer 1

(1)
∵ △BDG与四边形ACDG的周长相等，且BD=CD
∴ BG+BD+DG=AG+AC+CD+DG
即，BG=AG+AC=AB-BG+AC
即，2BG=AB+AC=c+b
∴ BG=(b+c)/2
(2)
∵在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点
∴DE//FA
∴∠DGF=∠EDG
∵FG=AF-AG=AB/2-(AB-BG)=c/2-c+(b+c)/2=b/2
DF=AC/2=b/2
∴DF=FG
∴∠GDF=∠DGF
∴∠DGF=∠EDG=∠GDF
∴ DG平分∠EDF
(3)
∵△BDG与△DFG相似
∴∠GBD=∠BGD
又∵ BD=DC
∴BD=DG=DC
∵在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点
∴BA//DE
∴∠GBD=∠EDC，∠BGD=∠EDG
∴∠EDC=∠EDG
在△CDG中，DG=DC，∠EDC=∠EDG
∴DE⊥CG
又∵ BA//DE
∴ BG⊥CG

Answer 2

(1)BG=(AB+AC)/2=(b+c)/2
(2)证明：FG∥DE→∠FGD=∠GDE
FG=BG-BF=(b+c)/2-c/2=b/2=FD→△FGD为等腰三角形→∠FGD=∠FDG
所以∠FDG=∠GDE
(3)证明：△BDG∽△DFG→△BDG为等腰三角形→BD=DG
又因为D为BC中点→BD=DC
所以BD=DC=GD→△BGC为直角△（直角三角形斜边上的中线为斜边的一半）→BG⊥CG

有不明白的再追问

Answer 3

解：（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等，得BG+BD=AG+AC+CD，又BG+BD+AG+AC+CD=a+b+c，故BG+BD=AG+AC+CD=(a+b+c)/2.又D是BC中点，故BD=a/2，故BG=(a+b+c)/2-a/2=(b+c)/2.
（2）由于FG=BG-BF=(b+c)/2-c/2=b/2=FD，故∠FDG=∠FGD，又DE∥AB，故∠FGD=∠GDE.从而∠FDG=∠GDE，即DG平分∠EDF.
（3）由△BDG∽△DFG知∠GBD=∠GDF=∠DGF，故DG=BD=(1/2)BC.故∠BGC=90°，即BG⊥CG.

Answer 4

感觉很简单的一个题 不过已经忘完了